Problem 1 : Multiples of 3 and 5

逛知乎的时候发现的一个网站——projecteuler.net，蛮有意思的一个解题网站，和平常的OJ网站不太一样，只需要提交结果就好了。可以在作工作闲暇之余，练练手。

在这里提交解题过程，一是为了做笔记，二是为了督促自己。

最近正好在学python，就用python解题了。

废话完毕，开始第一题：

Problem:

If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3,5,6 and 9.The sum of these multiples is 23.
Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.

和各大OJ网站一样，第一题通常都很简短（题目描述也很简短，英语渣渣的我居然看懂了）。

求小于1000，且能被3或5整除的所有数之和。

一个循环+一个分支解决，代码如下：

1 #promble 1: Multiples of 3 and 5
2 RANGE = 1000
3 sum = 0
4 num = 3
5 while num < RANGE:
6     if num % 3 == 0 or num % 5 == 0:
7         sum += num
8     num += 1
9 print(sum)

但是如果题目把范围扩大一点，例如10000000000。这个时候，如果用C或JAVA解题，已经无法得到正确答案了，因为int的范围为-2147483648~2147483647，sum或num都会在运算过程中溢出。python虽然还能得到正确结果，但需要相当长的一段时间等待（我等了3分钟还没出结果）。

进一步分析题目，以小于100的范围为例子，能被3整除的数如下：

3，6，9，12，15，……，96，99

能被5整除的数如下：

5，10，15，20，……，90，95

很明显是两个等差数列，可以通过数列的求和公式直接算计出结果，不需要循环累加计算。

被3整除的数列和为：

sum3of100 = 3 + 6 + …… + 96 + 99 = 3 * （1 + 2 + 3 + …… + 33） = 3 * （1 + 33） * 33 / 2

sum5of100 = 5 + 10 + …… + 90 + 95 = 5 *（1 + 2 + 3 + ……+19） = 5 * （1 + 19） * 19 / 2

当范围为小于n时，能被3整除的个数为 n / 3(整除），同理，被5整除的个数为n / 5，那通用的求和公式为：

sum3ofn = 3 * （1 + n / 3） * (n / 3) / 2

sum5ofn = 5 * （1 + n / 5） * (n / 5) / 2

当结过并不是sum3ofn + sum5ofn。

对比两个数列可以发现，能15整除的数在两个数列里都出现了，所以正确的结果应该为：

sum3ofn + sum5ofn - sum15ofn

代码如下：

1 #promble 1: Multiples of 3 and 5
2 #计算小于target，且能被n整除的数之和
3 def sumDivisibleBy(target, n):
4     p = target // n
5     return n * p * (p + 1) / 2
6 TARGET = 10000000000 - 1
7 result = sumDivisibleBy(TARGET, 3) + sumDivisibleBy(TARGET, 5) 
8          - sumDivisibleBy(TARGET, 15)
9 print(int(result))