问题:
设方阵$A = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & a & a & 0 \ a-2 & 0 & 1 & 0 \0 & 1 & 0 & 0 end{pmatrix}$可对角化,求$a$的值.
解：
计算可知$|lambda I - A| = lambda(lambda -1)^2(lambda -a)$
若$a
e 1$,则根据可对角化的条件知$mathrm{r}(I - A) = 2$,而
[ I - A = egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1-a & -a & 0 \ 2-a & 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 & 1 end{pmatrix} ]
从而后三排应当线性相关.此时只能有$a = 2$
若$a = 1$,则应有$mathrm{rank}(I - A) = 1$,由上面知也是错的.从而$a = 2$