更新：5 JUN 2016
【多元函数Taylor展开】n元函数(y=f(X))在(X_0)点的某个领域(B(X_0,r))内二阶连续可微，则(forall Xin B(X_0,r), exists hetain (0,1))，使得
(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)Delta X+dfrac{1}{2}(Delta X)^TH(X_0+ hetaDelta X)Delta X)
其中(Delta X=X-X_0)为n维列向量；
(Jf(X_0))即(f(X))在(X_0)处的Jacobi矩阵；
(H(X))为(f(X))在(X)处的Hesse矩阵。
上面的写法照应Lagrange型余项。当然也可以写成高一阶的Peano型余项形式
(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)Delta X+dfrac{1}{2}(Delta X)^TH(X_0)Delta X+alpha(Delta X))
【Hesse矩阵】
(H(X)=egin{bmatrix} dfrac{partial^2 f}{partial x_1partial x_1} & dfrac{partial^2 f}{partial x_1partial x_2} & cdots &dfrac{partial^2 f}{partial x_1partial x_n} \ dfrac{partial^2 f}{partial x_2partial x_1} & dfrac{partial^2 f}{partial x_2partial x_2} &cdots& dfrac{partial^2 f}{partial x_2partial x_n} \ vdots& & & vdots \ dfrac{partial^2 f}{partial x_npartial x_1} &dfrac{partial^2 f}{partial x_npartial x_2} & cdots &dfrac{partial^2 f}{partial x_npartial x_n} end{bmatrix} )
对于n元函数，相当于是n元m=1维向量值函数，其Jacobi矩阵即其梯度向量的转置（见Jacobi矩阵），可以视为其一阶导数；
那么n元函数的Hesse矩阵相当于其二阶导数。
【应用】在计算化学中求势能面（能量作为多元函数）中某极值点处的曲面近似时即使用Taylor展开，这时要计算Hesse矩阵。