========方法========

对于任意的二元二阶齐次线性偏微分方程，

(a_{11}dfrac{partial^2u}{partial x^2}+2a_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y}+a_{22}dfrac{partial^2 u}{partial y^2}+b_1dfrac{partial u}{partial x}+b_2dfrac{partial u}{partial y}+cu=0)

求特征方程、确定分类、化为标准型的方法为：

1.截：只关心其中的二阶部分

(a_{11}dfrac{partial^2u}{partial x^2}+2a_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y}+a_{22}dfrac{partial^2 u}{partial y^2}=0)

2.换：将偏导数换成dx、dy

(dfrac{partial^2 u}{partial x^2} ightarrow (dy)^2)

(dfrac{partial^2 u}{partial y^2} ightarrow (dx)^2)

(dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y} ightarrow color{red}{ extbf{–}}(dxdy)) 注意负号！

(a_{11}(dy)^2color{red}{ extbf{–}}{color{blue}2}a_{12}(dxdy)+a_{22}(dx)^2=0)

此即特征方程。

3.分：特征方程中的系数(a_{ij})可能是关于x、y的函数，即便如此仍视其为普通系数。这是一个二次方程，可以写出其(Delta)

(Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22})

在方程的定义域内讨论其符号，

(Delta{color{blue}<}0) 椭圆形(elliptic)方程，如Laplace方程；

(Delta=0) 抛物型(parabolic)方程，如一维热方程；

(Delta{color{blue}>}0) 双曲型(hyperbolic)方程，如一维波动方程。

此即方程的分类。此外有混合型。

4.反：解出dy与dx的关系式，注意用分解因式法可能比较简单。得到两个常微分方程（或一个）。

得到两个方程时，解出两个y与x的关系，注意这两个等式中分别有一个积分常数。将积分常数作为新的坐标（记作(xi, eta)），反写两等式，即用x、y表示这两个坐标。这时就进行了变量代换。

对于抛物型方程，得到一个常微分方程，解之，得到一个坐标；另一个坐标可以任意假设，如设作y。注意做偏微分时不能直接替换，需要用链式法则计算。

5.导：计算u关于x、y的一阶、二阶偏导数与混合偏导数，用(xi, eta)表示。

6.代：将上面的偏导数代入原方程，得到简化的以(xi, eta)为自变量的方程。此即方程的标准型。

7.解：按照标准解法解之，得到关于(xi, eta)的通解。代换回x,y利用边界条件解之。

========原理========

之所以写特征方程，是因为在这里希望将原方程

(a_{11}dfrac{partial^2u}{partial x^2}+2a_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xpartial y}+a_{22}dfrac{partial^2 u}{partial y^2}+b_1dfrac{partial u}{partial x}+b_2dfrac{partial u}{partial y}+cu=0)

化为

(A_{11}dfrac{partial^2u}{partial xi^2}+2A_{12}dfrac{partial^2 u}{partial xipartial eta}+A_{22}dfrac{partial^2 u}{partial eta^2}+B_1dfrac{partial u}{partial xi}+B_2dfrac{partial u}{partial eta}+Cu=0)

其中变量代换

(xi=varphi(x,y))

(eta=psi(x,y))