第八届蓝桥杯省赛 K倍区间

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

数据规模和约定

　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

思路

　　这题暴力复杂度为$O(n^2)$，无法通过所有数据。我提供两种思路来解决这个问题：

　　首先求出数组的前缀和并对k取余。前缀和是数组的前j个元素的和$sumlimits_{i = 1}^j {a[i]}$。假设经过求余得到的数组为${ {y_1},{y_2},...,{y_n}}$，比如样例中的$y$数组为{1,1,0,0,1}。

　　1.对于数组$y$，如果${y_i} = {y_j}(i < j)$，那么$sumlimits_{t = i + 1}^j {{t_i}}$必定是$k$的倍数。设$c_x$表示数组$y$等于$x$的元素个数，但是要特别注意等于0的情况，要让$c_0+1$!!

　　答案就是$sumlimits_{i = 0}^{k - 1} {{c_i} imes ({c_i} - 1)/2}$。

　　2.在计算数组$y$同时，第$i$个元素能和前面的元素构成$c_{y_i}-1$个k倍区间，这样一直计算下去就是答案。

　　总而言之，这两种思路都是基于余数相同区间和必为k的倍数来实现的。

AC代码

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 const int maxn = 100000 + 5;
 4 typedef long long LL;
 5 int a[maxn], cnt[maxn];
 6 int n, k;
 7 int main() {
 8     while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
 9         int sum = 0;
10         LL ans = 0;
11         memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
12         for(int i = 0; i < n; i++) {
13             scanf("%d", &a[i]);
14             sum = (sum + a[i] % k) % k;
15             cnt[sum]++;
16         }
17         cnt[0]++;
18         for(int i = 0; i < k; i++) {
19             ans += (1LL * cnt[i] * (cnt[i]-1)) / 2;
20         }
21         printf("%lld
", ans);
22     }
23     return 0;
24 }

如有不当之处欢迎指出！