【LeetCode-回溯/动态规划】不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

示例：

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

说明：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

题目链接： https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

思路1

使用回溯来做，代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int ans = 0;
        int curRow = 0, curCol = 0;
        vector<vector<int>> visit(m, vector<int>(n, 0));
        visit[curRow][curCol] = 1;
        dfs(curRow, curCol, m, n, visit, ans);
        return ans;
    }

    int dirs[2][2] = {{1,0}, {0, 1}};
    void dfs(int curRow, int curCol, int m, int n, vector<vector<int>>& visit, int& ans){
        if(curRow==m-1 && curCol==n-1){
            ans++;
            return;
        }

        for(int i=0; i<2; i++){
            int nextRow = curRow + dirs[i][0];
            int nextCol = curCol + dirs[i][1];
            if(nextRow>=0 && nextRow<m && nextCol>=0 && nextCol<n){
                if(!visit[nextRow][nextCol]){
                    visit[nextRow][nextCol] = 1;
                    dfs(nextRow, nextCol, m, n, visit, ans);
                    visit[nextRow][nextCol] = 0;
                }
            }
        }

    }
};
// 超时

该方法超时未通过。

思路2

使用动态规划来做。

状态定义：dp[i][j]表示从起点到位置(i,j)的最大路径数。
状态转移方程：由于机器人只能向右或向下走，所以状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
特殊情况：如果机器人当前位置在第一行或者第一列时，那么机器人的上一个位置也是在第一行或者第一列，因为在第一行或者第一列时只能朝一个方向走，所以有dp[0][:]=1, dp[:][0]=1。

代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for(int i=0; i<m; i++) dp[i][0] = 1;
        for(int i=0; i<n; i++) dp[0][i] = 1;

        for(int i=1; i<m; i++){
            for(int j=1; j<n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

时间复杂度：O(m×n)
空间复杂度：O(m×n)