【POJ 1061】青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

题意：

起点分别为x，y，一次分别往前跳m，n米，前进的路是环形，长度为L，求跳几次后重合，或不可能重合。

分析：

重合时跳了t次，可得(x+mt)%L=(y+nt)%L

因此x-y+(m-n)t=kL （其中k为一个整数）即

　　　　 Lk+(n-m)t=x-y

形式上和 ax+ by=c 相同

这个式子里L、n-m、x-y分别为系数a、b、c，未知量k和t为方程的x和y，因此只要求解不定方程ax+by=c的y的最小正整数解即可。

接下来要用到扩展欧几里德算法解同余线性方程。

求出ax+by=c的一个解后，y可能小于0，而通解是x=x₀+b/gcd(a,b),y=y₀+a/gcd(a,b)；

d=gcd(a,b);最小正整数的y=(y₀%(a/d)+a/d)%(a/d)

这个的理解可以举个例子：y₀=-12，a/d=8，y₁=y+8=-4，y₂=y0+2*8=4，y₂为y的最小正整数解，y₂=（y₀%8+8）%8=4%8=4。

代码：

 1 //直接模拟TLE，要用扩展欧几里德求解同余线性方程，ヽ(≧Д≦)ノ
 2 #include<stdio.h>
 3 #define ll long long
 4 ll x,y,m,n,l,t,p,q;
 5 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 6 {
 7     if(b==0){x=1;y=0;return a;}
 8     ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
 9     ll tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
10     return r;
11 }
12 void modular_linear_equation(ll a,ll b,ll c)
13 {
14     ll x,y,d=exgcd(a,b,x,y);
15     if(c%d)printf("Impossible
");
16     else printf("%lld",((y*c/d)%(a/d)+a/d)%(a/d));
17 }
18 int main()
19 {
20     scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
21     modular_linear_equation(l,n-m,x-y);
22     return 0;
23 }