快速幂算法

快速幂算法思想：迭代/二进制

我们知道一个公式：a*b%c=（a%c*b%c）%c

如果要求a^b%c：

一、迭代

　　当b为奇数：a^b%c=（（a²）^b/2*a）%c，记k=a²%c，那就是求（k^b/2%c*a)%c

　　当b为偶数：a^b%c=（a²）^b/2%c,记k=a²%c，那就是求k^b/2%c

　　然后问题转化为求k^b/2%c，

　　我们假设

令k₁=a²%c，问题转化为求k₁^b/2%c

令k₂=k₁²%c=a⁴%c，问题转化为求k₂^b/4%c

令k₃=k₂²%c=a⁸%c，问题转化为求k₃^b/8%c

……

这个过程就可以迭代下去，一开始k=a，每次b=b/2，k=k*k%c，每当b为奇数时，都要把此时的k（还未平方的）乘进答案，求到最后，b=1时（最后b一定先=1，然后=0），答案就一定会乘进去的，然后b=0就结束算法了。

#include<stdio.h>
int main(){
    int a,b,c,k,ans;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    ans=1;
    k=a;
    while(b){
        if(b%2)//b是奇数
            ans=ans*k%c;
        k=k*k%c;
        b=b/2;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

二、二进制

　　假设b=（18）₁₀=（10010）₂

　　那a^b%c=a^（10）₂*a^{（10000）₂}%c=a²*a¹⁶%c

　　每次循环就相当于对b的二进制位从右到左审查，如果为1，那就乘上k，

　　k是什么? 就是a以b的这个二进制位为幂的值，比如到了10010的从右到左第二个位置时，k=a^（10）₂=a²，到了第五个位置时，k=a^{（10000）₂}=a¹⁶

　　所以每次k=k*k%c，k的变化是：k=a^（1）₂%c，k=a^（10）₂%c，k=a^（100）₂ %c，……

#include<stdio.h>
int main(){
    int a,b,c,k,ans;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    ans=1;
    k=a;
    while(b){
        if(b&1)//b的二进制的最后一位为1
            ans=ans*k%c;
        k=k*k%c;
        b=b>>1;//b的二进制去掉最后一位
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}