快速寻找满足条件的两个数

2012-04-18 16:41

2.12快速寻找满足条件的两个数---程序员编程艺术之五

第一节、寻找满足条件的两个数
第14题（数组）：
题目：输入一个数组和一个数字，在数组中查找两个数，使得它们的和正好是输入的那个数字。
要求时间复杂度是O(n)。如果有多对数字的和等于输入的数字，输出任意一对即可。
例如输入数组1、2、4、7、11、15和数字15。由于4+11=15，因此输出4和11。

分析：

咱们试着一步一步解决这个问题（注意阐述中数列有序无序的区别）：

直接穷举，从数组中任意选取两个数，判定它们的和是否为输入的那个数字。此举复杂度为O（N^2）。很显然，我们要寻找效率更高的解法。
题目相当于，对每个a[i]，然后查找判断sum-a[i]是否也在原始序列中，每一次要查找的时间都要花费为O（N），这样下来，最终找到两个数还是需要O（N^2）的复杂度。那如何提高查找判断的速度列?对了，二分查找，将原来O（N）的查找时间提高到O（logN），这样对于N个a[i]，都要花logN的时间去查找相对应的sum-a[i]是否在原始序列中，总的时间复杂度已降为O（N*logN），且空间复杂度为O（1）。（如果有序，直接二分O（N*logN），如果无序，先排序后二分，复杂度同样为O（N*logN+N*logN）=O（N*logN），空间总为O（1））。
有没有更好的办法列?咱们可以依据上述思路2的思想，a[i]在序列中，如果a[i]+a[k]=sum的话，那么sum-a[i]（a[k]）也必然在序列中，，举个例子，如下：
原始序列：1、 2、 4、 7、11、15 用输入数字15减一下各个数，得到对应的序列为：
对应序列：14、13、11、8、4、 0
第一个数组以一指针i 从数组最左端开始向右扫描，第二个数组以一指针j 从数组最右端开始向左扫描，如果下面出现了和上面一样的数，即a[*i]=a[*j]，就找出这俩个数来了。如上，i，j最终在第一个，和第二个序列中找到了相同的数4和11，，所以符合条件的两个数，即为4+11=15。怎么样，两端同时查找，时间复杂度瞬间缩短到了O（N），但却同时需要O（N）的空间存储第二个数组（@飞羽：要达到O(N)的复杂度，第一个数组以一指针i 从数组最左端开始向右扫描，第二个数组以一指针j 从数组最右端开始向左扫描，首先初始i指向元素1，j指向元素0，谁指的元素小，谁先移动，由于1（i）>0（j），所以i不动，j向左移动。然后j移动到元素4发现大于元素1，故而停止移动j，开始移动i，直到i指向4，这时,i指向的元素与j指向的元素相等，故而判断4是满足条件的第一个数；然后同时移动i,j再进行判断，直到它们到达边界）。
当然，你还可以构造hash表，正如编程之美上的所述，给定一个数字，根据hash映射查找另一个数字是否也在数组中，只需用O（1）的时间，这样的话，总体的算法通上述思路3 一样，也能降到O（N），但有个缺陷，就是构造hash额外增加了O（N）的空间，此点同上述思路 3。不过，空间换时间，仍不失为在时间要求较严格的情况下的一种好办法。
如果数组是无序的，先排序（n*logn），然后用两个指针i，j，各自指向数组的首尾两端，令i=0，j=n-1，然后i++，j--，逐次判断a[i]+a[j]?=sum，如果某一刻a[i]+a[j]>sum，则要想办法让sum的值减小，所以此刻i不动，j--，如果某一刻a[i]+a[j]<sum，则要想办法让sum的值增大，所以此刻i++，j不动。所以，数组无序的时候，时间复杂度最终为O（n*logn+n）=O（n*logn），若原数组是有序的，则不需要事先的排序，直接O（n）搞定，且空间复杂度还是O（1），此思路是相对于上述所有思路的一种改进。（如果有序，直接两个指针两端扫描，时间O（N），如果无序，先排序后两端扫描，时间O（N*logN+N）=O（N*logN），空间始终都为O（1））。（与上述思路2相比，排序后的时间开销由之前的二分的n*logn降到了扫描的O（N））。

总结：

不论原序列是有序还是无序，解决这类题有以下三种办法：1、二分（若无序，先排序后二分），时间复杂度总为O（n*logn），空间复杂度为O（1）；2、扫描一遍X-S[i] 映射到一个数组或构造hash表，时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（n）；3、两个指针两端扫描（若无序，先排序后扫描），时间复杂度最后为：有序O（n），无序O（n*logn+n）=O（n*logn），空间复杂度都为O（1）。
所以，要想达到时间O（N），空间O（1）的目标，除非原数组是有序的（指针扫描法），不然，当数组无序的话，就只能先排序，后指针扫描法或二分（时间n*logn，空间O（1）），或映射或hash（时间O（n），空间O（n））。时间或空间，必须牺牲一个，自个权衡吧。
综上，若是数组有序的情况下，优先考虑两个指针两端扫描法，以达到最佳的时（O（N）），空（O（1））效应。否则，如果要排序的话，时间复杂度最快当然是只能达到N*logN，空间O（1）则是不在话下。

public static int i = -1;public static int j = -1;void FindSum(int[] arr,n){int p=0,q=n-1;while(p<q){if((arr[p] + arr[q]) == sum){i = p;j = q;return;}else if ((arr[p] + arr[q])>sum)q--;else p++;}

}

第二节、寻找满足条件的多个数
第21题（数组）
2010年中兴面试题
编程求解：
输入两个整数 n 和 m，从数列1，2，3.......n 中随意取几个数,
使其和等于 m ,要求将其中所有的可能组合列出来。

#include<list>

#include<iostream>

using namespace std;

list<int>list1;

void find_factor(int sum, int n)

{

// 递归出口

if(n <= 0 || sum <= 0)

return;

// 输出找到的结果

if(sum == n)

{

// 反转list

list1.reverse();

for(list<int>::iterator iter = list1.begin(); iter != list1.end(); iter++)

cout << *iter << " + ";

cout << n << endl;

list1.reverse();

}

list1.push_front(n); //典型的01背包问题

find_factor(sum-n, n-1); //放n，n-1个数填满sum-n

list1.pop_front();

find_factor(sum, n-1); //不放n，n-1个数填满sum

}

int main()

{

int sum, n;

cout << "请输入你要等于多少的数值sum:" << endl;

cin >> sum;

cout << "请输入你要从1.....n数列中取值的n：" << endl;

cin >> n;

cout << "所有可能的序列，如下：" << endl;

find_factor(sum,n);

int t;

cin>>t;

return 0;

}

题目的大概意思是：快速找出在一个数组内的两个数，让这两个数之和等于一个给定的值。书中给出的解法三觉得应该是(NlogN）复杂度中比较快的，但这种解法为什么完备还要仔细推导一下才知道。因为是找两个数之和，解法二还可以再优化。排序后可以把数组分成两段，以和的一半作为分割点，这样就在二分查找时只需找出前半部分的Sum-arr[i]是否在后半部分中。我用SLT的binary_search实现了一下，但是此法由于排序，只能返回具体的解，如果返回解在原数组中的位置，那要复杂得多。

[cpp] view plain copy

//给定条件为SUM()=10
#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<algorithm>
const int maxN=1000;
int solv=0;
class list
{

10. private:

11. vector<int> v;
12. int n;
13. vector<int>::iterator cutPoint;

14. public:

15. list(int a[],int n1)
16. {
17. n=n1;
18. for(int i=0;i<n;i++)
19. v.push_back(a[i]);
20. }
21. //获得分割点
22. void GetCutPoint()
23. {
24. sort(v.begin(),v.end());
25. cutPoint=v.begin();
26. for(vector<int>::iterator it=v.begin();it!=v.end();it++)
27. {
28. if(*it>=5)
29. {
30. cutPoint=++it;
31. break;
32. }
33. }
34. }
35. bool search ( )
36. {
37.
38. for(vector<int>::iterator it=v.begin();it!=cutPoint;it++)
39. {
40. int val=10-*it;
41. bool result=binary_search(cutPoint,v.end(),val);
42. if(result)
43. {
44. solv=val;
45. return true;
46. }
47. }
48. return false;
49. }

50. };

51. int main()

52. {

53. int a[]={5,6,7,4,7,9,8};
54. list list1(a,7);
55. list1.GetCutPoint();
56.
57. if(list1.search())
58. {
59. cout<<"find it:"<<solv<<" "<<10-solv<<endl;
60. }
61. else
62. {
63. cout<<"not find"<<endl;
64. }
65. system("pause");
66. return 1;

67. }