一次、二次、三次指数平滑计算思想及代码
概述
一般常用到的指数平滑法为一次指数平滑、二次指数平滑和三次指数平滑，高次指数平滑一般比较难见到，因此本文着重介绍了一次、二次和三次指数平滑的特点与不同。
一次指数平滑一般应用于直线型数据，且一次指数平滑具有滞后性，可以说明有明显的时间性、季节性。
二次指数平滑一般也应用于直线型，但是效果会比一次指数平滑好很多，也就相当于加强版的一次指数平滑。
三次指数平滑可以应用于抛物线型的数据，因为数据在二次平滑过后还是具有斜率，那么可以继续使用三次指数平滑。
初值：不管什么指数平滑都会有个初值，假如数据大于20项，那么初值就可以认定为第一个数据，或者利用下列公式计算也行；假如数据小于20项，则初始值为：
低于20项一般取3，大于20的看着取就行了。
一次指数平滑：
一次指数平滑需要滞后一期，给定平滑系数，那么一次指数平滑的计算公式为：
预测第期的数值则是上一期的实际值与预测值的加权平均，预测公式为：
二次指数平滑：
给定平滑系数，那么二次指数平滑的计算公式为：
预测未来期的值的计算公式为：
其中：
三次指数平滑：
给定平滑系数，那么三次指数平滑的计算公式为：
预测未来期的值的计算公式为：
其中：
下面举例说明，数据如下：
| 253993 | 275396.2 | 315229.5 | 356949.6 | 400158.2 | 442431.7 | 495102.9 | 570164.8 | 640993.1 | 704250.4 | 767455.4 | 781807.8 | 776332.3 | 794161.7 | 834177.7 | 931651.5 | 1028390 | 1114914 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 133 | 88 | 150 | 123 | 404 | 107 | 674 | 403 | 243 | 257 | 900 | 1043 | 1156 | 895 | 1200 | 1038 | 1024 | 1283 |
引入均方误差概念来判断平滑系数是否准确：
要使最小则构成了一个关于的函数，由此可以得到最优的平滑系数，这里可以引入线性规划的思想来求得最优解
但是：
python没有线性规划的包，所以就没有细致的代码写出来了，不过经过手动计算尝试这样子是可行的
python代码
一次指数平滑
在python3下编程，一次指数平滑代码为：
S1_1 = []
for m in range(0, len(info_data_id)):
S1_1_empty = []
x = 0
for n in range(0, 3):
x = x + int(info_data_sales[m][n])
x = x / 3
S1_1_empty.append(x)
S1_1.append(S1_1_empty)
# print(S1_1)
a = [] ##这是用来存放阿尔法的数组
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
v = input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：')
a.append(v)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
MSE = 0
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
S1_1[i].append(
float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j])) ##计算预估值
MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE
# print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j])
MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i])) ##得到均方误差
info_MSE.append(MSE)
# print(info_MSE)
# print(S1_1)
for i in range(0, len(S1_1)):
print('第' + str(i + 1) + '组的一次平滑预估值为:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))
二次指数平滑代码
S2_1 = []
S2_2 = []
for m in range(0, len(info_data_id)):
S2_1_empty = []
x = 0
for n in range(0, 3):
x = x + float(info_data_sales[m][n])
x = x / 3
S2_1_empty.append(x)
S2_1.append(S2_1_empty)
S2_2.append(S2_1_empty)
# print(S2_2)
a = [] ##这是用来存放阿尔法的数组
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))
a.append(v)
##下面是计算一次指数平滑的值
S2_1_new1 = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S2_1_new = [[]] * len(info_data_id)
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S2_1_new[i].append(
float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j]))
else:
S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S2_1_new[i][j - 1])) ##计算一次指数的值
S2_1_new1.append(S2_1_new[i])
# print(S2_1_new1)
# print(len(S2_1_new1[i]))
##下面是计算二次指数平滑的值
S2_2_new1 = []
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)
MSE = 0
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))
else:
S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S2_2_new[i][j - 1])) ##计算二次指数的值
MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE
MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))
info_MSE.append(MSE)
S2_2_new1.append(S2_2_new[i])
# print(S2_2_new1)
# print(len(S2_2_new1[i]))
##下面是计算At、Bt以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了
u = input('你要预估多少期？')
Xt = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))
Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (
float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))
Xt.append(At + Bt * int(u))
print('第' + str(i + 1) + '组的二次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))
三次指数平滑
S3_1 = []
S3_2 = []
S3_3 = []
for m in range(0, len(info_data_id)):
S3_1_empty = []
x = 0
for n in range(0, 3):
x = x + float(info_data_sales[m][n])
x = x / 3
S3_1_empty.append(x)
S3_1.append(S3_1_empty)
S3_2.append(S3_1_empty)
S3_3.append(S3_1_empty)
# print(S3_1)
a = [] ##这是用来存放阿尔法的数组
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))
a.append(v)
##下面是计算一次指数平滑的值
S3_1_new1 = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S3_1_new[i].append(
float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))
else:
S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S3_1_new[i][j - 1])) ##计算一次指数的值
S3_1_new1.append(S3_1_new[i])
##下面是计算二次指数平滑的值
S3_2_new1 = []
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))
else:
S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S3_2_new[i][j - 1])) ##计算二次指数的值
S3_2_new1.append(S3_2_new[i])
##下面是计算二次指数平滑的值
S3_3_new1 = []
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)
MSE = 0
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))
else:
S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S3_3_new[i][j - 1])) ##计算三次指数的值
MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE
MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))
info_MSE.append(MSE)
S3_3_new1.append(S3_3_new[i])
# print(S3_3_new1)
##下面是计算At、Bt、Ct以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了
u = input('你要预估多少期？')
Xt = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
At = (
float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(
S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))
Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (
float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(
S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(
S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))
Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (
float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(
S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))
Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))
print('第' + str(i + 1) + '组的三次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))
由于注释写得很清楚了，就不一段一段的解释了
明显看出数列为线性的数列，所以用二次指数平滑会更好
得到的二次平滑结果如下：
误差判断：
| 误差判断 | 预估值 | 实际值 | 误差 |
|---|---|---|---|
| 数列1 | 1193179 | 1192201 | 0.08% |
| 数列2 | 1250 | 1371 | 9.68% |
由此可见预测效果非常好
完整代码
from openpyxl import load_workbook
import xlsxwriter
if __name__ == '__main__':
judge = input('请选择使用几次指数平滑：一次请按1；二次请按2；三次请按3：')
##这里是打开excel将数据储存到数组里面
wb = load_workbook(filename=r'C:UsersAdministratorDesktopdata.xlsx') ##读取路径
ws = wb.get_sheet_by_name("Sheet1") ##读取名字为Sheet1的sheet表
info_data_id = []
info_data_sales = []
for row_A in range(1, 3): ## 遍历第1行到2行
id = ws.cell(row=row_A, column=1).value ## 遍历第1行到2行，第1列
info_data_id.append(id)
for row_num_BtoU in range(1, len(info_data_id) + 1): ## 遍历第1行到2行
row_empty = [] ##建立一个空数组作为临时储存地，每次换行就被清空
for i in range(2, 20): ## 遍历第1行到2行，第1到19列
data = ws.cell(row=row_num_BtoU, column=i).value
if data == None:
pass
else:
row_empty.append(data) ##将单元格信息储存进去
info_data_sales.append(row_empty) ##row_empty每次储存完1到19列后压给info_data_sales，然后row_empty被清空
# print(info_data_id)
# print(info_data_sales)
if judge == '1':
##############################下面是计算St(1)下面写为S1_t_######################################
print('你选择了一次指数平滑预测')
##一次指数平滑的初值为S1_1，用S1_1来储存每一组数据的一次平滑的数值
S1_1 = []
for m in range(0, len(info_data_id)):
S1_1_empty = []
x = 0
for n in range(0, 3):
x = x + int(info_data_sales[m][n])
x = x / 3
S1_1_empty.append(x)
S1_1.append(S1_1_empty)
# print(S1_1)
a = [] ##这是用来存放阿尔法的数组
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
v = input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：')
a.append(v)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
MSE = 0
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
S1_1[i].append(
float(a[i]) * int(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * int(S1_1[i][j])) ##计算预估值
MSE = (int(S1_1[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE
# print(info_data_sales[i][j], S1_1[i][j])
MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i])) ##得到均方误差
info_MSE.append(MSE)
# print(info_MSE)
# print(S1_1)
for i in range(0, len(S1_1)):
print('第' + str(i + 1) + '组的一次平滑预估值为:' + str(S1_1[i][len(S1_1[i]) - 1]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))
if judge == '2':
##############################下面是计算St(2)下面写为S2_t_######################################
print('你选择了二次指数平滑预测')
##二次指数平滑的初值为S2_1，用S2_1_new来储存每一组数据的一次平滑的数值
S2_1 = []
S2_2 = []
for m in range(0, len(info_data_id)):
S2_1_empty = []
x = 0
for n in range(0, 3):
x = x + float(info_data_sales[m][n])
x = x / 3
S2_1_empty.append(x)
S2_1.append(S2_1_empty)
S2_2.append(S2_1_empty)
# print(S2_2)
a = [] ##这是用来存放阿尔法的数组
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))
a.append(v)
##下面是计算一次指数平滑的值
S2_1_new1 = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S2_1_new = [[]] * len(info_data_id)
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S2_1_new[i].append(
float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_1[i][j]))
else:
S2_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S2_1_new[i][j - 1])) ##计算一次指数的值
S2_1_new1.append(S2_1_new[i])
# print(S2_1_new1)
# print(len(S2_1_new1[i]))
##下面是计算二次指数平滑的值
S2_2_new1 = []
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S2_2_new = [[]] * len(info_data_id)
MSE = 0
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S2_2[i][j]))
else:
S2_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S2_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S2_2_new[i][j - 1])) ##计算二次指数的值
MSE = (int(S2_2_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE
MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))
info_MSE.append(MSE)
S2_2_new1.append(S2_2_new[i])
# print(S2_2_new1)
# print(len(S2_2_new1[i]))
##下面是计算At、Bt以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了
u = input('你要预估多少期？')
Xt = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
At = (float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) * 2 - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1]))
Bt = (float(a[i]) / (1 - float(a[i])) * (
float(S2_1_new1[i][len(S2_1_new1[i]) - 1]) - float(S2_2_new1[i][len(S2_2_new1[i]) - 1])))
Xt.append(At + Bt * int(u))
print('第' + str(i + 1) + '组的二次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))
if judge == '3':
##############################下面是计算St(3)下面写为S3_t_######################################
print('你选择了三次指数平滑预测')
S3_1 = []
S3_2 = []
S3_3 = []
for m in range(0, len(info_data_id)):
S3_1_empty = []
x = 0
for n in range(0, 3):
x = x + float(info_data_sales[m][n])
x = x / 3
S3_1_empty.append(x)
S3_1.append(S3_1_empty)
S3_2.append(S3_1_empty)
S3_3.append(S3_1_empty)
# print(S3_1)
a = [] ##这是用来存放阿尔法的数组
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
v = float(input('请输入第' + str(i + 1) + '组数据的a：'))
a.append(v)
##下面是计算一次指数平滑的值
S3_1_new1 = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S3_1_new = [[]] * len(info_data_id)
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S3_1_new[i].append(
float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_1[i][j]))
else:
S3_1_new[i].append(float(a[i]) * float(info_data_sales[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S3_1_new[i][j - 1])) ##计算一次指数的值
S3_1_new1.append(S3_1_new[i])
##下面是计算二次指数平滑的值
S3_2_new1 = []
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S3_2_new = [[]] * len(info_data_id)
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_2[i][j]))
else:
S3_2_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_1_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S3_2_new[i][j - 1])) ##计算二次指数的值
S3_2_new1.append(S3_2_new[i])
##下面是计算二次指数平滑的值
S3_3_new1 = []
info_MSE = [] ##计算均方误差来得到最优的a(阿尔法)
for i in range(0, len(info_data_sales)):
S3_3_new = [[]] * len(info_data_id)
MSE = 0
for j in range(0, len(info_data_sales[i])):
if j == 0:
S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(S3_3[i][j]))
else:
S3_3_new[i].append(float(a[i]) * float(S3_2_new1[i][j]) + (1 - float(a[i])) * float(
S3_3_new[i][j - 1])) ##计算三次指数的值
MSE = (int(S3_3_new[i][j]) - int(info_data_sales[i][j])) ** 2 + MSE
MSE = (MSE ** (1 / 2)) / int(len(info_data_sales[i]))
info_MSE.append(MSE)
S3_3_new1.append(S3_3_new[i])
# print(S3_3_new1)
##下面是计算At、Bt、Ct以及每个预估值Xt的值，直接计算预估值，不一一列举Xt的值了
u = input('你要预估多少期？')
Xt = []
for i in range(0, len(info_data_sales)):
At = (
float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) * 3 - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) * 3 + float(
S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))
Bt = ((float(a[i]) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * ((6 - 5 * float(a[i])) * (
float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - 2 * (5 - 4 * float(a[i])) * float(
S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1]) + (4 - 3 * float(a[i])) * float(
S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))))
Ct = (((float(a[i])) ** 2) / (2 * ((1 - float(a[i])) ** 2))) * (
float(S3_1_new1[i][len(S3_1_new1[i]) - 1]) - float(S3_2_new1[i][len(S3_2_new1[i]) - 1])*2 + float(
S3_3_new1[i][len(S3_3_new1[i]) - 1]))
Xt.append(At + Bt * int(u) + Ct * (int(u) ** 2))
print('第' + str(i + 1) + '组的三次平滑预估值为:' + str(Xt[i]) + '；均方误差为：' + str(info_MSE[i]))
以上，为本人从其他地方转来的，忘记了源地址，经本人验证，以上方法所预测的代码对很短时间内的预测有较强效果，但预测结果并没有R语言的预测结果，有可能是因为数据原因，在此不对原因进行深挖，最终使用python+R的方式进行了数据预测。以上代码对平滑预测法的算法会有些理解。