【bzoj1257】[CQOI2007]余数之和sum
Description
给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7
Input
输入仅一行，包含两个整数n, k。
Output
输出仅一行，即j(n, k)。
Sample Input
5 3
Sample Output
7
HINT
50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9
题解：暴力枚举还有50分不得不吐槽一番，正解是怎么样的呢？
k%i可以写成k-k/i*i，所以重点在求∑⌊ki⌋∗i
打表可得，当i逐渐增大时，∑⌊ki⌋在连续区间内的值保持不变。仔细想想其实⌊ki⌋的取值只有k√个。因为每个数都对应一段连续区间，所以[1,n]整个区间被分为k√个。于是我们可以枚举每个区间，复杂度是O(k√)。
设连续区间为[l,r]，区间内的值为w，则需满足w=⌊kl⌋=⌊kr⌋，使得l最小，r最大。
因为我们要枚举区间，所以l的值可以确定。
因为w=⌊kl⌋，w是下取整后的结果，是最小的。所以r=⌊kw⌋，w是最小的，r就是最大的。
这样在当前区间内，w的值就确定了，区间大小也确定了。因为要乘i，所以当前区间就是公差为w的等差数列。当前区间对答案的贡献为：
−l+r2∗w∗(r−l+1)
最终答案是：
n∗k−∑l+r2∗w∗(r−l+1)
然后就可以了。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cmath> 4 #include<iostream> 5 #include<cstring> 6 #define ll long long 7 using namespace std; 8 9 ll ans,n,k; 10 11 int main() 12 { 13 scanf("%lld%lld",&n,&k); 14 if (n>k) 15 { 16 ans=(ll)(n-k)*k; 17 n=k; 18 } 19 ll r; 20 for (int i=1;i<=n;i=r+1) 21 { 22 int t=k/i; 23 r=k/t; 24 if (r>=n) r=n; 25 ans=ans+(ll)(r-i+1)*k-(ll)(r-i+1)*(i+r)/2*t; 26 } 27 printf("%lld",ans); 28 }