C++与正态分布

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution）。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

从上图可以看出,当相差1个方差(σ), 满足要求的面积有68.27%.

当相差2个方差(σ)时,满足要求的面积有95.45.

当相差3个方差(σ)时,满足要求的面积有99.73%.

满足标准正态分的曲线,可以查表来求得正态分布的幅度.(见文后所附表格)

方差（Variance）,是各个数据分别与其和的平均数之差的平方的和的平均数，用字母D表示。在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

标准差（StandardDeviation），是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。

测试代码:

// NormalDistribution.cpp : Defines the entry point for the console application. 
// 
#include <stdio.h> 
#include <tchar.h> 
#include <iostream> 
#include <windows.h> 
#include <algorithm> 
#define _USE_MATH_DEFINES 
#include <math.h> 
using namespace std; 


// 高斯分布随机数系列,默认期望值为0,方差为1
double GaussRand(double dExpect = 0, double dVariance = 1);
double GaussRand(double dExpect, double dVariance)
{
    static double V1, V2, S;
    static int phase = 0;
    double X;

    if ( phase == 0 )
    {
        do
        {
            double U1 = (double)rand() / RAND_MAX;
            double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;

            V1 = 2 * U1 - 1;
            V2 = 2 * U2 - 1;
            S = V1 * V1 + V2 * V2;
        } while(S >= 1 || S == 0);

        X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S);
    }
    else
    {
        X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S);
    }

    phase = 1 - phase;

    return (X*dVariance + dExpect);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 
{ 
    const int DATA_CNT = 100000; 
    double dArrData[DATA_CNT] = {0}; 

    double dSum = 0; 

    // 对所有数赋随机数,默认期望值为0,方差为1
    srand(GetTickCount()); 
    for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 
    { 
        // 防止计算方差时数值过大 
        dArrData[nIdx] = GaussRand(); 
        dSum += dArrData[nIdx]; 
    } 

    // 求平均数 
    double dAverageData = dSum / DATA_CNT; 

    // 计算所有的数的方差(各个数据分别与其和的平均数之差的平方的和的平均数) 
    double dVariance = 0.0; 
    for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 
    { 
        double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 
        dVariance += pow(dDeviate, 2); 
    } 
    dVariance /= DATA_CNT; 

    // 计算标准差(方差的算术平方根,反映一组数据的离散程序) 
    double dStandardDeviation = sqrt(dVariance); 

    // 计算0.5个正负标准差之间包含的数字个数 
    int nDataCnt = 0; 
    for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 
    { 
        double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 
        if (abs(dDeviate) <= 0.5*dStandardDeviation) 
        { 
            nDataCnt++; 
        } 
    } 
    cout<<nDataCnt<<endl; 

    // 计算1个正负标准差之间包含的数字个数 
    nDataCnt = 0;
    for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 
    { 
        double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 
        if (abs(dDeviate) <= dStandardDeviation) 
        { 
            nDataCnt++; 
        } 
    } 
    cout<<nDataCnt<<endl; 

    // 计算2个正负标准差之间包含的数字个数 
    nDataCnt = 0;
    for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 
    { 
        double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 
        if (abs(dDeviate) <= 2*dStandardDeviation) 
        { 
            nDataCnt++; 
        } 
    } 
    cout<<nDataCnt<<endl; 

    // 计算3个正负标准差之间包含的数字个数 
    nDataCnt = 0;
    for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 
    { 
        double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 
        if (abs(dDeviate) <= 3*dStandardDeviation) 
        { 
            nDataCnt++; 
        } 
    } 
    cout<<nDataCnt<<endl; 

    return 0; 
} 

(附)标准正态分布表

φ( - x ) = 1 –φ( x )

           

x	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0.500 0	0.504 0	0.508 0	0.512 0	0.516 0	0.519 9	0.523 9	0.527 9	0.531 9	0.535 9
0.1	0.539 8	0.543 8	0.547 8	0.551 7	0.555 7	0.559 6	0.563 6	0.567 5	0.571 4	0.575 3
0.2	0.579 3	0.583 2	0.587 1	0.591 0	0.594 8	0.598 7	0.602 6	0.606 4	0.610 3	0.614 1
0.3	0.617 9	0.621 7	0.625 5	0.629 3	0.633 1	0.636 8	0.640 4	0.644 3	0.648 0	0.651 7
0.4	0.655 4	0.659 1	0.662 8	0.666 4	0.670 0	0.673 6	0.677 2	0.680 8	0.684 4	0.687 9
0.5	0.691 5	0.695 0	0.698 5	0.701 9	0.705 4	0.708 8	0.712 3	0.715 7	0.719 0	0.722 4
0.6	0.725 7	0.729 1	0.732 4	0.735 7	0.738 9	0.742 2	0.745 4	0.748 6	0.751 7	0.754 9
0.7	0.758 0	0.761 1	0.764 2	0.767 3	0.770 3	0.773 4	0.776 4	0.779 4	0.782 3	0.785 2
0.8	0.788 1	0.791 0	0.793 9	0.796 7	0.799 5	0.802 3	0.805 1	0.807 8	0.810 6	0.813 3
0.9	0.815 9	0.818 6	0.821 2	0.823 8	0.826 4	0.828 9	0.835 5	0.834 0	0.836 5	0.838 9
1	0.841 3	0.843 8	0.846 1	0.848 5	0.850 8	0.853 1	0.855 4	0.857 7	0.859 9	0.862 1
1.1	0.864 3	0.866 5	0.868 6	0.870 8	0.872 9	0.874 9	0.877 0	0.879 0	0.881 0	0.883 0
1.2	0.884 9	0.886 9	0.888 8	0.890 7	0.892 5	0.894 4	0.896 2	0.898 0	0.899 7	0.901 5
1.3	0.903 2	0.904 9	0.906 6	0.908 2	0.909 9	0.911 5	0.913 1	0.914 7	0.916 2	0.917 7
1.4	0.919 2	0.920 7	0.922 2	0.923 6	0.925 1	0.926 5	0.927 9	0.929 2	0.930 6	0.931 9
1.5	0.933 2	0.934 5	0.935 7	0.937 0	0.938 2	0.939 4	0.940 6	0.941 8	0.943 0	0.944 1
1.6	0.945 2	0.946 3	0.947 4	0.948 4	0.949 5	0.950 5	0.951 5	0.952 5	0.953 5	0.953 5
1.7	0.955 4	0.956 4	0.957 3	0.958 2	0.959 1	0.959 9	0.960 8	0.961 6	0.962 5	0.963 3
1.8	0.964 1	0.964 8	0.965 6	0.966 4	0.967 2	0.967 8	0.968 6	0.969 3	0.970 0	0.970 6
1.9	0.971 3	0.971 9	0.972 6	0.973 2	0.973 8	0.974 4	0.975 0	0.975 6	0.976 2	0.976 7
2	0.977 2	0.977 8	0.978 3	0.978 8	0.979 3	0.979 8	0.980 3	0.980 8	0.981 2	0.981 7
2.1	0.982 1	0.982 6	0.983 0	0.983 4	0.983 8	0.984 2	0.984 6	0.985 0	0.985 4	0.985 7
2.2	0.986 1	0.986 4	0.986 8	0.987 1	0.987 4	0.987 8	0.988 1	0.988 4	0.988 7	0.989 0
2.3	0.989 3	0.989 6	0.989 8	0.990 1	0.990 4	0.990 6	0.990 9	0.991 1	0.991 3	0.991 6
2.4	0.991 8	0.992 0	0.992 2	0.992 5	0.992 7	0.992 9	0.993 1	0.993 2	0.993 4	0.993 6
2.5	0.993 8	0.994 0	0.994 1	0.994 3	0.994 5	0.994 6	0.994 8	0.994 9	0.995 1	0.995 2
2.6	0.995 3	0.995 5	0.995 6	0.995 7	0.995 9	0.996 0	0.996 1	0.996 2	0.996 3	0.996 4
2.7	0.996 5	0.996 6	0.996 7	0.996 8	0.996 9	0.997 0	0.997 1	0.997 2	0.997 3	0.997 4
2.8	0.997 4	0.997 5	0.997 6	0.997 7	0.997 7	0.997 8	0.997 9	0.997 9	0.998 0	0.998 1
2.9	0.998 1	0.998 2	0.998 2	0.998 3	0.998 4	0.998 4	0.998 5	0.998 5	0.998 6	0.998 6
x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
3	0.998 7	0.999 0	0.999 3	0.999 5	0.999 7	0.999 8	0.999 8	0.999 9	0.999 9	1.000 0

(附)正态分布概率表