乔治布尔

乔治布尔:一个两百年的观点

今天是乔治诞辰200周年纪念日。在当今数字化世界里，我们总会听到“布朗变量”——1或0，正确或者错误。有人可能会想：这是多么不起眼的一个想法！为什么需要那么清楚的去创造这个概念？通常这样的事情背后都有一个故事（as is so often the case, there’s a deeper story）——布朗变量仅仅是乔治重大的学术成就的一个意外结果。
当乔治开始被人们熟知时，数学逻辑学的概念独立分散的发展了超过2000年的历史。乔治的伟大之处正是在于他展示了如何通过布尔代数的概念将这些分散的逻辑结合在一起。这样做使得他有效的开创了数学逻辑体系的领域，并且为后续的一系列发展例如通用的计算过程拉开了序幕。
当乔治发明布尔代数的时候，他最基本的目标就是找到一种能够再现经典逻辑学的数学公理。他从一般的代数的要点出发，像带x、y的变量，运用加法减法的运算。
起初，一般代数看起来十分像逻辑学。毕竟，p+q和q+p是一样的，就像p×q=q×p。但是如果更认真的观察就会发现它们是有去别的。有点难以理解的是，布尔使用的是标准代数的记号，但是增加了一些特殊的法则在这个公理中使得之后他可以呈现出所有通常逻辑学的成果的再生。
布尔在他描述的公理体系里是非常不正式的。但是在十几年之后，它恰恰变得十分正式。而且在百年的课程跟踪之后，逐渐发现了一些简单的表达方式。碰巧的是，16年前我完成了这150年历史的过程，发现了正如其他科学研究带来的一样的重大意外结果，那就是这个逻辑体系中的定理是非常简单的就可以验证的，这一单一的公理实际上可以遵守。
我认为这个公式是非常简洁明了的，无论怎么看它对数学与逻辑都有很有趣的启示意义。但在乔治看来，可以说这是他大想法的一个最小的版本。任何人都可以用一套数学公理体系，用代数形式推导出逻辑分析的所有结果。

谁是乔治布尔？

让我们来谈谈乔治这个人，他是谁？他是怎样做到这一切的？
乔治布尔出生在1815年，英格兰林肯的一个很小的镇上，距伦敦南部大约120公里。他的父亲是一个鞋匠，对科学和数学有着浓厚的兴趣。乔治市一个自学小神童，在14岁时，他在当地的报纸上发表了一份希腊诗歌的翻译，开始小有名气。在16岁时，他就被聘请为当地学校的教师，那时他就已经在读微积分的课本，显然，他已经开始对数学和逻辑之间的关系有了想法。
在他19岁时，乔治自己办了一个小学，看起来非常成功，实际上乔治一直在不断的奋斗导电学校直到三十岁。他和一些受过剑桥教育的人走到一起，值得注意的是，这些是通过在当地的机械研究所认识的。但是他大部分知识似乎都是通过自学来的。
他把学校教师的这份工作做得很认真，而且发明了各种各样让人惊喜的在理解和发明上的新式理念，最直接的例子就是让人们认识数学领域的研究价值。
当他23岁时，布尔开始出版数学方面的书本。他最早发表的是当时的热点话题，例如变量微积分。也许是乔治在教育和探索方面的兴趣使得他不断努力去尝试不同的形式，但是很快他就在微积分的运算上遥遥领先：做微积分时通过操作运算符而不是用代数表达式。
不久之后，英国数学家受到启发，给了他积级反馈。他考虑去剑桥大学成为一个“大学生”，但是却被延期了，因为他被告知得去教低年级的课程，并且要停止做他自己的研究。

逻辑的数学分析

逻辑学作为研究的一个领域，起源于古代，尤其是在亚里士多德的作品里。它是中世纪研究的主流，（fitting into the practice of rote learning by identifying specific patterns of logical arguments (“syllogisms”) with mnemonics like “bArbArA” and “cElArEnt”.）在许多方面，逻辑学的研究并没有在千年的历史中发生改变，反而变得更加合理化和正式。但问题是这是怎么形成的，特别的，是通过哲学还是数学方法呢？
1847年早期，布尔的朋友德摩根卷入了这场学术的不愉快当中。这使得布尔开始快速研究，好让最早出现的那个用数学来表示逻辑的想法实现。结果同年布尔出版了他的第一本著作《逻辑的数学分析》：这本书并不长——仅仅只有86页。但是它阐述了布尔的思想，展示了代数式的逻辑。这个概念——一个变量代数不仅仅是普通数字，恰巧出现在汉密尔顿1843年关于四元代数的研究上——布尔也被这项研究深深影响。
早在布尔研究之前的150年，莱布尼茨也在思考怎样用代数去表示逻辑。但是他并没有看到这方面的太多成就。这个想法此后似乎一直被世人遗忘，直到布尔在1847年终于成功研究出来了。
今天再来看看布尔的著作，大部分都是很容易理解的。这里举个例子......

思维规律

当布尔写出他的第一本著作时，他还是一位学校的老师，奔波在校园之间。但他在1849年时就已经成为一位小有名气的数学家，并且被爱尔兰科克的皇家学院聘请为他们的第一位教授。一在科克，布尔就开始致力于研究什么将会成为他最出名的著作，在《思维规律的研究》中，他的引言是这样的：以下论述，通过推理演算来探索运算间最基本的规律，在微积分的语言上给出表达方式，在基础之上建立科学的逻辑以及成立解法....”
布尔似乎看见他自己在努力用“科学知识的力量”创造微积分类似于牛顿在物理科学上的微积分。但是当牛顿完全能够依赖于空间和时间的概念上去建立他自己的微积分，布尔却不得不在一种他的思维工作模型的基础上创建，对于他自己来说毫无疑问是充满逻辑性的。
《思维规律》的第一部分基本上是布尔早期在逻辑学方面的重新演算，但是加入了新的例子——例如对于存在的证明以及上帝的特点的片段。书的第二部分在某种意义上更像是传统的数学。他将代数变量与可能性的联系一起解读，代替与逻辑联系的解读——这么做却展示了事物的可能性与逻辑状态的互相联系。
《思维规律》的大部分就像一项数学作品，带有抽象的定义和正式的结论，但是在章节的最后一段布尔尝试将他所做的凭经验得到的关于思维运行的问题一起联系起来。他在讨论和明确意义的思维规律将会是多么自由的兼容。他谈到人们不精确的一些经验也可以导致得出很精确的思维规律。他的讨论无论正确与否都让人们认识到一些在数学公理中所不能表达的东西。而且他谈到对人们思维的理解应该应用在教育上。
布尔的余生
在出版了《思维规律》之后，布尔就待在了科克，生活了十几年之后于1864年去世，享年49岁。他不断的在数学方面出版广泛的学术研究，但从没有再出版过跟逻辑学有关的，也许他曾想过那么做。
布尔的一生中，对于传统的数学研究与逻辑学的成就，他更加认可前者。他出过两本教材，分别是在1859年的微分方程和1860年的差分方程。两者都有很清晰的阐述。有趣的是，（while there are endless modern alternatives to Boole’s Differential Equations, sufficiently little has been done on difference equations that when we were implementing them in Mathematica in the late 1990s, Boole’s 1860 book was still an important reference, notable especially for its nice examples of the factorization of linear difference operators.）

布尔是一个怎样的人？

布尔是一个怎样的人？这方面有很多资料，从他妻子的记录以及他死后姐姐那边收集来的。正如人们所言，布尔是一个做事有条理，勤勉的，十分注重细节的人。他努力工作，经常熬到深夜，他全神贯注的工作让人觉得仿佛精神游离一样。不管照片上看起来的如何，他是一个相当和蔼的人。他非常喜欢当老师，是一个很有才能的讲师，虽然他的黑板上的字迹很是潦草。他是一个亲切的人，和许多人保持联系，经常去拜访不同的人和地方。他花了很多年的时间去管理人们，先是在学校，然后是在科克的大学。他有强烈的正义感，虽然不喜欢公开辩论，但是偶尔他也会沉迷其中，并且毫不羞耻的去维护自己的立场。
放下他的成功不说，布尔似乎经常把自己看作一个自学的学校教师，而不是学术研究中的精英。也可能正是由于这样才帮助他有足够的能力去冒知识上的风险，发现代数的规律运用到逻辑学上。布尔的态度是只要向前进，看清楚自己能到达的地方，然后相信自己的感觉就对了。
布尔在一生中的大部分是单身的，虽然在40岁的时候他终于结婚了。他的妻子，玛丽才17岁，比他多活了52年，在1916年去世。她也有很有趣的故事，余生主要在写作，像《代数的哲学与乐趣》《用爱来逻辑教学》《孩子的科学启蒙》《心灵科学与世界的对话》。乔治与玛丽有五个女儿——在职业方面范围覆盖很广，挺有成就，一些在数学方面（George and Mary Boole had five daughters—who, along with their own children, had a wide range of careers and accomplishments, some quite mathematical.）

遗产

（It is something of an irony that George Boole, committed as he was to the methods of algebra, calculus and continuous mathematics, should have come to symbolize discrete variables.）但是为了公平起见，这花了相当长的一段时间。在他死后的十几年，布尔在逻辑方面的成就在抽象主义和形式主义上起了风波，影响了很多的人，如弗雷格，希尔伯特，怀特黑格，拉塞尔，仅仅在1937年，由于克劳德的作品，布尔代数开始运用于实用性的目的。
今天布尔计算运用在很多方面，数学和Wolfram语言。实际上，布尔成为在不同领域以他命名最多数量的人
但是使得布尔最出名的不是布尔代数，而是布尔变量，基本出现在每台计算机语言里——在1950年之后“布尔”这个词在出版物方面有了非常大的增加。
这是不可避免的吗？在某些方面，我认为确实如此。因为当回顾历史的时候，每一个充分简单的想法最终都会汇聚成一个被广泛使用的的定理，即使开始是复杂的，发展史缓慢的。很多时候在某一瞬间我们有了一些灵感，结果往往由好奇心开始，结束于主流。