（三十九）常用 10 种算法—

（三十九）常用 10 种算法——普里姆算法

1.应用场景-修路问题

看一个应用场景和问题：

有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示( 权) 如，比如 A – – B 离距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

思路:
将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

2.最小生成树

修路问题本质就是就是 最小生成树问题 ，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST 。给定一个带权的无向连通图, 如何选取一棵生成树, 使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。

N 个顶点，一定有 N-1 条边
包含全部顶点
N-1 条边都在图中
举例说明( 如图:)
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

3.普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图普利姆的算法如下:

设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合
若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1
若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边
提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
图解普利姆算法

4.普里姆算法最佳实践(修路问题)

有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
韩老师思路分析+代码演示:

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

  public static void main(String[] args) {
    //测试看看图是否创建 ok
    char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
    int verxs = data.length;
    //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通
    int [][]weight=new int[][]{
      {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
      {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
      {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
      {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
      {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
      {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
      {2,3,10000,10000,4,6,10000},};
      
    //创建 MGraph 对象
    MGraph graph = new MGraph(verxs);
    //创建一个 MinTree 对象
    MinTree minTree = new MinTree();
    minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
    //输出
    minTree.showGraph(graph);
    //测试普利姆算法
    minTree.prim(graph, 1);//
  }
}

//创建最小生成树->村庄的图
class MinTree {
  //创建图的邻接矩阵
  /**
    *
    * @param graph 图对象
    * @param verxs 图对应的顶点个数
    * @param data 图的各个顶点的值
    * @param weight 图的邻接矩阵
    */
  public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
    int i, j;
    for(i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
      graph.data[i] = data[i];
      for(j = 0; j < verxs; j++) {
        graph.weight[i][j] = weight[i][j];
      }
    }
  }

  //显示图的邻接矩阵
  public void showGraph(MGraph graph) {
    for(int[] link: graph.weight) {
      System.out.println(Arrays.toString(link));
    }
  }

  //编写 prim 算法，得到最小生成树
  /**
    *
    * @param graph 图
    * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
    */
  public void prim(MGraph graph, int v) {
    //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
    int visited[] = new int[graph.verxs];
    //visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问过
    // for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
    // visited[i] = 0;
    // }
    //把当前这个结点标记为已访问
    visited[v] = 1;
    //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
    int h1 = -1;
    int h2 = -1;
    int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
    for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边
      //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
      for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i 结点表示被访问过的结点
        for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {//j 结点表示还没有访问过的结点
          if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
            //替换 minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
            minWeight = graph.weight[i][j];
            h1 = i;
            h2 = j;
          }
        }
      }

      //找到一条边是最小
      System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
      //将当前这个结点标记为已经访问
      visited[h2] = 1;
      //minWeight 重新设置为最大值 10000
      minWeight = 10000;
    }
  }
}

class MGraph {

  int verxs; //表示图的节点个数
  char[] data;//存放结点数据
  int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵

  public MGraph(int verxs) {
    this.verxs = verxs;
    data = new char[verxs];
    weight = new int[verxs][verxs];
  }

}

代码实现(自己):

/**
 * 普里姆算法(修路问题)
 */
public class PrimAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int verxs = data.length;
        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}
        };

        MinTree minTree = new MinTree();
        //创建图的邻接矩阵
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);

        //显示图的邻接矩阵
        minTree.showGraph(graph);

        //prim 算法，得到最小生成树
        minTree.prim(graph, 0);
    }

    //创建最小生成树->村庄的图
    static class MinTree {

        //创建图的邻接矩阵

        /**
         * @param graph  图对象
         * @param verxs  图对应的顶点个数
         * @param data   图的各个顶点的值
         * @param weight 图的邻接矩阵
         */
        public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
            for (int i = 0; i < verxs; i++) {
                graph.data[i] = data[i];
                for (int j = 0; j < verxs; j++) {
                    graph.weight[i][j] = weight[i][j];
                }
            }

        }

        //显示图的邻接矩阵
        public void showGraph(MGraph graph) {
            for (int[] link : graph.weight) {
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }

        //编写 prim 算法，得到最小生成树

        /**
         * @param graph 图
         * @param v     表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
         */
        public void prim(MGraph graph, int v) {
            //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
            int visited[] = new int[graph.verxs];
            //visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问过
            // for(int i =0; i <graph.verxs; i++) {
            //      visited[i] = 0;
            // }

            //把当前这个结点标记为已访问
            visited[v] = 1;

            //大循环
            for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) {//因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边

                //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
                int h1 = -1;
                int h2 = -1;

                //将 minWeight 初始成一个大数
                int minWeight = 10000;

                //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
                for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {// i 结点表示被访问过的结点

                    for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {//j 结点表示还没有访问过的结点

                        if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {

                            //替换 minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                            minWeight = graph.weight[i][j];
                            h1 = i;
                            h2 = j;
                        }
                    }
                }

                //找到一条边是最小
                if (minWeight < 10000) {
                    //将当前这个结点标记为已经访问
                    visited[h2] = 1;
                    System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "->" + graph.data[h2] + ">" + graph.weight[h1][h2]);
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 图
     */
    static class MGraph {
        int verxs; //表示图的节点个数
        char[] data;//存放结点数据
        int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵

        public MGraph(int verxs) {
            this.verxs = verxs;
            data = new char[verxs];
            weight = new int[verxs][verxs];
        }
    }
}

运行结果:

[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边<B->G>3
边<G->A>2
边<G->E>4
边<E->F>5
边<F->D>4
边<A->C>7