（二十八）树结构实际应用——平衡二叉树(AVL 树)

1.看一个案例(说明二叉排序树可能的问题)

给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在

  • 左边 BST 存在的问题分析:
  1. 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
  2. 插入速度没有影响
  3. 查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
  4. 解决方案-平衡二叉树(AVL)

2.基本介绍

  1. 平衡二叉树也叫平衡 二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL 树， 可以保证查询效率较高。
  2. 具有以下特点：它是一棵空树或 它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且** 左右两个子树都是一棵平衡二叉树**。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
  3. 举例说明, 看看下面哪些 AVL 树, 为什么?

3.应用案例-单旋转(左旋转)

  1. 要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}

  2. 思路分析(示意图)

  3. 代码实现

//左旋转方法
private void leftRotate() {
  //创建新的结点，以当前根结点的值
  Node newNode = new Node(value);
  //把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
  newNode.left = left;
  //把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
  newNode.right = right.left;
  //把当前结点的值替换成右子结点的值
  value = right.value;
  //把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
  right = right.right;
  //把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
  left = newNode;
}

4.应用案例-单旋转(右旋转)

  1. 要求: 给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12, 8, 9, 7, 6}

  2. 思路分析(示意图)

  3. 代码实现

//右旋转
private void rightRotate() {
  Node newNode = new Node(value);
  newNode.right = right;
  newNode.left = left.right;
  value = left.value;
  left = left.left;
  right = newNode;
}

5.应用案例-双旋转

前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。比如数列
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 }; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树
int[] arr = {2,1,6,5,7,3}; // 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树

  1. 问题分析

  2. 解决思路分析
    1. 当符号右旋转的条件时
    2. 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
    3. 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
    4. 在对当前结点进行右旋转的操作即可

  3. 代码实现[AVL 树的汇总代码(完整代码)(韩老师)]

public class AVLTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
        //int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };
        int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
        //创建一个 AVLTree 对象
        AVLTree avlTree = new AVLTree();
        //添加结点
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            avlTree.add(new Node(arr[i]));
        }
        //遍历
        System.out.println("中序遍历");
        avlTree.infixOrder();
        System.out.println("在平衡处理~~");
        System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height()); //3
        System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight()); // 2
        System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight()); // 2
        System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());//8
    }
}

// 创建 AVLTree
class AVLTree {
    private Node root;

    public Node getRoot() {
        return root;
    }

    // 查找要删除的结点
    public Node search(int value) {
        if (root == null) {
            return null;
        } else {
            return root.search(value);
        }
    }

    // 查找父结点
    public Node searchParent(int value) {
        if (root == null) {

            return null;
        } else {
            return root.searchParent(value);
        }
    }

    // 编写方法:
    // 1. 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
    // 2. 删除 node 为根结点的二叉排序树的最小结点

    /**
     * @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
     * @return 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
     */
    public int delRightTreeMin(Node node) {
        Node target = node;
        // 循环的查找左子节点，就会找到最小值
        while (target.left != null) {
            target = target.left;
        }
        // 这时 target 就指向了最小结点
        // 删除最小结点
        delNode(target.value);
        return target.value;
    }

    // 删除结点
    public void delNode(int value) {
        if (root == null) {
            return;
        } else {
            // 1.需求先去找到要删除的结点 targetNode
            Node targetNode = search(value);
            // 如果没有找到要删除的结点
            if (targetNode == null) {
                return;
            }
            // 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
            if (root.left == null && root.right == null) {
                root = null;
                return;
            }
            // 去找到 targetNode 的父结点
            Node parent = searchParent(value);
            // 如果要删除的结点是叶子结点
            if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                // 判断 targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
                if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 是左子结点
                    parent.left = null;
                } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {// 是由子结点
                    parent.right = null;
                }
            } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的节点
                int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
                targetNode.value = minVal;
            } else { // 删除只有一颗子树的结点
                // 如果要删除的结点有左子结点
                if (targetNode.left != null) {
                    if (parent != null) {
                        // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.left;
                        } else { // targetNode 是 parent 的右子结点
                            parent.right = targetNode.left;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.left;
                    }
                } else { // 如果要删除的结点有右子结点
                    if (parent != null) {
                        // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.right;
                        } else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
                            parent.right = targetNode.right;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.right;
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 添加结点的方法
    public void add(Node node) {
        if (root == null) {
            root = node;// 如果 root 为空则直接让 root 指向 node
        } else {
            root.add(node);
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (root != null) {
            root.infixOrder();
        } else {
            System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
        }
    }
}

// 创建 Node 结点
class Node {
    int value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(int value) {
        this.value = value;
    }

    // 返回左子树的高度
    public int leftHeight() {
        if (left == null) {
            return 0;
        }
        return left.height();
    }

    // 返回右子树的高度
    public int rightHeight() {
        if (right == null) {

            return 0;
        }
        return right.height();
    }

    // 返回 以该结点为根结点的树的高度
    public int height() {
        return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
    }

    //左旋转方法
    private void leftRotate() {
        //创建新的结点，以当前根结点的值
        Node newNode = new Node(value);
        //把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
        newNode.left = left;
        //把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
        newNode.right = right.left;
        //把当前结点的值替换成右子结点的值
        value = right.value;
        //把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
        right = right.right;
        //把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
        left = newNode;
    }

    //右旋转
    private void rightRotate() {
        Node newNode = new Node(value);
        newNode.right = right;
        newNode.left = left.right;
        value = left.value;
        left = left.left;
        right = newNode;
    }
    // 查找要删除的结点

    /**
     * @param value 希望删除的结点的值
     * @return 如果找到返回该结点，否则返回 null
     */
    public Node search(int value) {
        if (value == this.value) { // 找到就是该结点
            return this;
        } else if (value < this.value) {// 如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
            // 如果左子结点为空
            if (this.left == null) {

                return null;
            }
            return this.left.search(value);
        } else { // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
            if (this.right == null) {
                return null;
            }
            return this.right.search(value);
        }
    }
    // 查找要删除结点的父结点

    /**
     * @param value 要找到的结点的值
     * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回 null
     */
    public Node searchParent(int value) {
        // 如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
        if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
            return this;
        } else {
            // 如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
            if (value < this.value && this.left != null) {

                return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找
            } else if (value >= this.value && this.right != null) {
                return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找
            } else {
                return null; // 没有找到父结点
            }
        }
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "Node [value=" + value + "]";
    }

    // 添加结点的方法
    // 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
    public void add(Node node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        //  判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
        if (node.value < this.value) {
            //  如果当前结点左子结点为 null
            if (this.left == null) {

                this.left = node;
            } else {
                //  递归的向左子树添加
                this.left.add(node);
            }
        } else { // 于 添加的结点的值大于  当前结点的值
            if (this.right == null) {
                this.right = node;
            } else {
                //  递归的向右子树添加
                this.right.add(node);
            }
        }
        // 当添加完一个结点后，如果: ( 右子树的高度- 左子树的高度) > 1 ,  左旋转
        if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
            // 如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
            if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
                // 先对右子结点进行右旋转
                right.rightRotate();
                // 然后在对当前结点进行左旋转
                leftRotate(); // 左旋转..
            } else {
                // 直接进行左旋转即可
                leftRotate();
            }
            return; // 必须要!!!
        }
        //果 当添加完一个结点后，如果 (度 左子树的高度 -  右子树的高度) > 1,  右旋转
        if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
            // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
            if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
                // 先对当前结点的左结点( 左子树)-> 左旋转
                left.leftRotate();
                // 再对当前结点进行右旋转
                rightRotate();
            } else {
                // 直接进行右旋转即可
                rightRotate();
            }
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        if (this.left != null) {
            this.left.infixOrder();
        }
        System.out.println(this);
        if (this.right != null) {

            this.right.infixOrder();
        }
    }

}
  1. 代码实现[AVL 树的汇总代码(完整代码)(自己)]
/**
 * 平衡二叉树
 */
public class AVLTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {
        //int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
        //int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };
        int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
        //创建一个 AVLTree 对象
        AVLTree avlTree = new AVLTree();
        //添加结点
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            avlTree.addNode(new Node(arr[i]));
        }

        //遍历
        System.out.println("中序遍历");
        avlTree.infixOrder();

        System.out.println("在平衡处理~~");
        System.out.println("树的高度=" + avlTree.root.height());
        System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.root.leftHeight());
        System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.root.rightHeight());
        System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.root);//8

    }

    /**
     * 二叉排序树
     */
    static class AVLTree {
        Node root;


        /**
         * 添加结点
         */
        public void addNode(Node node) {
            if (node == null) {
                return;
            }
            if (root == null) {
                root = node;
            } else {
                root.addNode(node);
            }
        }

        /**
         * 中序遍历
         */
        public void infixOrder() {
            if (root != null) {
                root.infixOrder();
            } else {
                System.out.println("二叉排序树为空");
            }
        }

        /**
         * 删除结点
         *
         * @param value
         */
        public void delNode(int value) {

            if (root == null) {
                return;
            }

            Node targetNode = search(value);
            //如果结点不存在
            if (targetNode == null) {
                return;
            }

            Node parent = searchParent(value);

            //第一种情况（删除结点为子节点，即targetNode没有子结点）
            if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                if (parent != null) {
                    if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
                        parent.left = null;
                    } else {
                        parent.right = null;
                    }
                } else {
                    root = null;
                }
            } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {//第三种情况（删除结点有两个子结点，即targetNode 存在左右子结点）

                int min = delRightTreeMin(targetNode.right);
                targetNode.value = min;

            } else {//第二种情况（删除结点有一个子结点，即targetNode存在一个子节点，左子结点或右子结点）
                //删除结点存在左子结点
                if (targetNode.left != null) {
                    if (parent != null) {
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.left;
                        } else {
                            parent.right = targetNode.left;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.left;
                    }
                } else {//删除结点存在右子结点
                    if (parent != null) {
                        if (parent.left.value == value) {
                            parent.left = targetNode.right;
                        } else {
                            parent.right = targetNode.right;
                        }
                    } else {
                        root = targetNode.right;
                    }
                }
            }


        }

        //编写方法:
        //1. 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
        //2. 删除 node 为根结点的二叉排序树的最小结点

        /**
         * @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
         * @return 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
         */
        public int delRightTreeMin(Node node) {
            Node temp = node;
            while (temp.left != null) {
                temp = temp.left;
            }
            delNode(temp.value);
            return temp.value;
        }

        public Node search(int value) {
            if (root != null) {
                return root.search(value);
            }
            return null;
        }

        public Node searchParent(int value) {
            if (root != null) {
                return root.serachParent(value);
            }
            return null;
        }


    }

    /**
     * 结点
     */
    static class Node {
        int value;
        Node left;
        Node right;

        public Node(int value) {
            this.value = value;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "Node{" +
                    "value=" + value +
                    '}';
        }

        /**
         * 添加Node
         *
         * @param node
         */
        public void addNode(Node node) {
            if (node == null) {
                return;
            }
            //插入结点值小于当前结点值
            if (node.value < this.value) {
                if (this.left == null) {
                    this.left = node;
                } else {
                    this.left.addNode(node);
                }

            } else {//插入结点值大约等于当前结点值
                if (this.right == null) {
                    this.right = node;
                } else {
                    this.right.addNode(node);
                }
            }

            // 当添加完一个结点后，如果: ( 右子树的高度- 左子树的高度) > 1 ,  左旋转
            if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
                // 如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
                if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
                    // 先对右子结点进行右旋转
                    right.rightRotate();
                    // 然后在对当前结点进行左旋转
                    leftRotate(); // 左旋转..
                } else {
                    // 直接进行左旋转即可
                    leftRotate();
                }
                return; // 必须要!!!
            }
            //果 当添加完一个结点后，如果 (度 左子树的高度 -  右子树的高度) > 1,  右旋转
            if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
                // 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
                if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
                    // 先对当前结点的左结点( 左子树)-> 左旋转
                    left.leftRotate();
                    // 再对当前结点进行右旋转
                    rightRotate();
                } else {
                    // 直接进行右旋转即可
                    rightRotate();
                }
            }
        }

        /**
         * 查找指定值的结点
         *
         * @param value
         * @return
         */
        public Node search(int value) {
            if (this.value == value) {
                return this;
            } else if (value < this.value && this.left != null) {
                return this.left.search(value);
            } else if (value > this.value && this.right != null) {
                return this.right.search(value);
            } else {
                return null;
            }

        }

        /**
         * 查找指定值的结点的父结点
         *
         * @param value
         * @return
         */
        public Node serachParent(int value) {
            if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
                return this;
            } else if (this.left != null && value < this.value) {
                return this.left.serachParent(value);
            } else if (this.right != null && value > this.value) {
                return this.right.serachParent(value);
            } else {
                return null;
            }
        }

        /**
         * 中序遍历
         */
        public void infixOrder() {
            if (this.left != null) {
                this.left.infixOrder();
            }
            System.out.println(this);
            if (this.right != null) {
                this.right.infixOrder();
            }
        }

        // 返回左子树的高度
        public int leftHeight() {
            if (this.left == null) {
                return 0;
            }
            return this.left.height();
        }

        // 返回右子树的高度
        public int rightHeight() {
            if (this.right == null) {
                return 0;
            }
            return this.right.height();
        }

        // 返回 以该结点为根结点的树的高度
        public int height() {
            return Math.max(this.left == null ? 0 : this.left.height(), this.right == null ? 0 : this.right.height()) + 1;
        }

        //左旋转方法
        public void leftRotate() {
            //创建新的结点，以当前根结点的值
            Node newNode = new Node(this.value);
            //把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
            newNode.left = this.left;
            //把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
            newNode.right = this.right.left;
            //把当前结点的值替换成右子结点的值
            this.value = this.right.value;
            //把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
            this.right = this.right.right;
            //把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
            this.left = newNode;
        }

        //右旋转
        public void rightRotate() {
            Node newNode = new Node(value);
            newNode.right = this.right;
            newNode.left = this.left.right;
            this.value = this.left.value;
            this.left = this.left.left;
            this.right = newNode;
        }
    }
}
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