【SCOI 2005】最大子矩阵

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【算法】

动态规划

我们发现，M只有两种取值，1和2，那么，只需分类讨论即可

当M = 1时，其实这个问题就成了就最大连续子段和的问题，只不过要选K段而已

用f[i][j]表示选到第i行，选了j段，那么，显然有 : f[i][j] = max{f[i-1][j],f[k][j-1] + sum[i] - sum[k]}（sum为前缀和）

当M = 2时，我们用f[i][j][k]表示第一列选到第i行，第二列选到第j行,选了k段

那么：

如果不取，f[i][j][k] = max{f[i-1][j][k],f[i][j-1][k]}

如果第一列取，f[i][j][k] = max{f[t][j][k-1] + sum[i][1] - sum[t][1]}

如果第二列取, f[i][j][k] = max{f[i][t][k-1] + sum[i][2] - sum[t][2]}

如果第一二列都取，我们可以把它看成两种情况

第一种，看成一个大矩形，f[i][j][k] = max{f[t][t][k-1] + sum[i][1] - sum[t][1] + sum[i][2] - sum[t][2]}

第二种，看成两个小矩形，f[i][j][k] = max{f[t][t][k-2] + sum[i][1] - sum[t][1] + sum[i][2] - sum[t][2]} (k > 1)

此题就是需要我们认真读题，如果发现了"1<=M<=2"，那么，问题就变得简单多了！

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 110
#define MAXK 12
const int INF = 2e9;

int n,m,k;

inline void solve1()
{
        int i,j,t;
        static int a[MAXN],sum[MAXN],f[MAXN][MAXK];
        for (i = 0; i <= n; i++)
        {
                for (j = 1; j <= k; j++)
                {
                        f[i][j] = -INF;
                }
        }
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
                scanf("%d",&a[i]);
                sum[i] = sum[i-1] + a[i];
        }
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
                for (j = 1; j <= k; j++)
                {
                        f[i][j] = f[i-1][j];
                        for (t = 0; t < i; t++)
                        {
                                f[i][j] = max(f[i][j],f[t][j-1]+sum[i]-sum[t]);
                        }
                }
        }
        printf("%d
",f[n][k]);
}
inline void solve2()
{
        int i,j,x,y;
        static int a[MAXN][3],sum[MAXN][3],f[MAXN][MAXN][MAXK];
        for (i = 0; i <= n; i++)
        {
                for (j = 0; j <= n; j++)
                {
                        for (x = 1; x <= k; x++)
                        {
                                f[i][j][x] = -INF;
                        }
                }
        }
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
                scanf("%d%d",&a[i][1],&a[i][2]);
                sum[i][1] = sum[i-1][1] + a[i][1];
                sum[i][2] = sum[i-1][2] + a[i][2];
        }
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
                for (j = 1; j <= n; j++)
                {
                        for (x = 1; x <= k; x++)
                        {
                                f[i][j][x] = max(f[i-1][j][x],f[i][j-1][x]);
                                for (y = 0; y < i; y++) f[i][j][x] = max(f[i][j][x],f[y][j][x-1]+sum[i][1]-sum[y][1]);
                                for (y = 0; y < j; y++) f[i][j][x] = max(f[i][j][x],f[i][y][x-1]+sum[j][2]-sum[y][2]);
                                if (i == j)
                                {
                                        for (y = 0; y < i; y++)
                                        {
                                                f[i][j][x] = max(f[i][j][x],f[y][y][x-1]+sum[i][1]-sum[y][1]+sum[i][2]-sum[y][2]);
                                                if (x > 1) f[i][j][x] = max(f[i][j][x],f[y][y][x-2]+sum[i][1]-sum[y][1]+sum[i][2]-sum[y][2]);
                                        }
                                }
                        }
                }
        }
        printf("%d
",f[n][n][k]);
}

int main()
{
    
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        if (m == 1) solve1();
        else solve2();
        
        return 0;
}

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