数论学习

具体数学

数学归纳法

格式:

1. 证明当(n)的值为初值时的式子成立 (基础((basic)))
2. 假设当(n = k)时原式成立，即有 : ....
3. 则当(n = k + 1)时，论证式子恒成立 (归纳((induction)))

---

e.g. 1

数学归纳法证明等差数列存在(a_n = a_1 + (n - 1)d)

当(n = 2)时,(a_2 = a_1 + d),满足定义式: (a_n = a_{n - 1} + d)

假设(n = k)时,(a_k = a_1 + (k - 1)d)成立，则(n = k + 1)时,(a_{k + 1} = a_k + d = a_1 + (k - 1)d + d = a_1 + kd)

所以当(n geqslant 2)时,(a_n = a_1 + (n - 1)d) (qquad lacksquare)

e.g. 2

数学归纳法证明平面上的(n)条直线最多界定的区域个数(Ln = dfrac{n(n + 1)}{2} + 1 , n geqslant 0)

存在递推式:

(L_0 = 1)

(L_n = L_{n - 1} + n,n > 0)

当(n = 1)时，(L_1 = 1 + 1 = L_0 + 1),满足递推式

假设(n = k)时，(L_k = dfrac{k(k + 1)}{2} + 1)成立，则(n = k + 1)时，(L_{k + 1} = dfrac{k(k + 1)}{2} + 1 + (k + 1)=dfrac{(k + 1)(k + 2)}{2} + 1)

所以当(n geqslant 1)时，(Ln = dfrac{n(n + 1)}{2} + 1 , n geqslant 0) (qquad lacksquare)