证明好巧妙，给跪OTZ
题目的式子：$ {left( {1{ m{ + }}sqrt 2 } ight)^{ m{n}}} $，设其乘开之后为 $ { m{a + b}}sqrt 2 $
考虑相对的式子：$ {left( {1{ m{ - }}sqrt 2 } ight)^{ m{n}}} $,则乘开后为 $ { m{a - b}}sqrt 2 $
两式相乘，得到 $ {( - 1)^n} = {a^2} - 2{b^2} $
分奇偶讨论，如果n为偶数，则当 $ m = {a^2} $, $ m - 1 = {a^2} - 1 = 2{b^2} $,$ sqrt m + sqrt {m - 1} = a + bsqrt 2 $
n为奇数时同理，当 $ m = {a^2} + 1 = 2{b^2} $, $ m - 1 = {a^2} $,$ sqrt m + sqrt {m - 1} = a + bsqrt 2 $
所以，不存在无解状况。现在问题是怎么求a。如果打表找规律可以知道，n>=2时，a[n]=2*a[n-1]+a[n-2],初始值为a[1]=a[2]=1;
怎么证明呢？网上没看到有证明，所以自己胡扯一下吧。考虑我们已经有了 $ {left( {1{ m{ + }}sqrt 2 } ight)^{n - 2}} = {a_1} + {b_1}sqrt 2 $
那么 $ {left( {1{ m{ + }}sqrt 2 } ight)^{n - 1}} = left( {{a_1} + {b_1}sqrt 2 } ight)left( {1 + sqrt 2 } ight) = {a_2} + {b_2}sqrt 2 $
即 $ {a_2} = {a_1} + 2{b_1},{b_2} = {a_1} + {b_1} $
同理,可以推出 $ {a_3} = {a_2} + 2{b_2} $
带入a1,a2，可以得到 $ {a_3} = 3{a_1} + 4{b_1} = 2{a_1} + {a_2} $
所以满足上面的递推式。
然后矩阵快速幂搞一发就过啦！