字典学习（Dictionary Learning, KSVD）详解

注：字典学习也是一种数据降维的方法，这里我用到SVD的知识，对SVD不太理解的地方，可以看看这篇博客：《SVD（奇异值分解）小结》；数据集：https://pan.baidu.com/s/1ZmpUSIscy4VltcimwwIWew

1、字典学习思想

字典学习的思想应该源来实际生活中的字典的概念。字典是前辈们学习总结的精华，当我们需要学习新的知识的时候，不必与先辈们一样去学习先辈们所有学习过的知识，我们可以参考先辈们给我们总结的字典，通过查阅这些字典，我们可以大致学会到这些知识。

为了将上述过程用准确的数学语言描述出来，我们需要将“总结字典”、“查阅字典”做出一个更为准确的描述。就从我们的常识出发：

我们通常会要求的我们的字典尽可能全面，也就是说总结出的字典不能漏下关键的知识点。
查字典的时候，我们想要我们查字典的过程尽可能简洁，迅速，准确。即，查字典要快、准、狠。
查到的结果，要尽可能地还原出原来知识。当然，如果要完全还原出来，那么这个字典和查字典的方法会变得非常复杂，所以我们只需要尽可能地还原出原知识点即可。

注：以上内容，完全是自己的理解，如有不当之处，欢迎各位拍砖。

下面，我们要讨论的就是如何将上述问题抽象成一个数学问题，并解决这个问题。

2、字典学习数学模型

2.1 数学描述

我们将上面的所提到的关键点用几个数学符号表示一下：

“以前的知识”，更专业一点，我们称之为原始样本，用矩阵(mathbf{Y})表示；
“字典”，我们称之为字典矩阵，用(mathbf{D})表示，“字典”中的词条，我们称之为原子（atom），用列向量(mathbf{d}_k)表示；
“查字典的方法”，我们称为稀疏矩阵，用(mathbf{X})；
“查字典的过程”，我们可以用矩阵的乘法来表示，即(mathbf{DX})。

用数学语言描述，字典学习的主要思想是，利用包含(K)个原子(mathbf{d}_k)的字典矩阵(mathbf{D}in mathbf{R}^{m imes K})，稀疏线性表示原始样本(mathbf{Y} in mathbf{R}^{m imes n})（其中(m)表示样本数，(n)表示样本的属性），即有(mathbf{Y=DX})（这只是我们理想的情况），其中(mathbf{X} in mathbf{R}^{K imes n})为稀疏矩阵，可以将上述问题用数学语言描述为如下优化问题

[min_{mathbf{D, X}}{|mathbf{Y}-mathbf{DX}|^2_F},quad ext{s.t.} forall i, |mathbf{x}_i|_0 le T_0 ag{2-1} ]

或者

[min_{mathbf{D, X}}sum_i|mathbf{x}_i|_0, quad ext{s.t.} min_{mathbf{D, X}}{|mathbf{Y}-mathbf{DX}|^2_F} le epsilon, ag{2-2} ]

上式中(mathbf{X})为稀疏编码的矩阵，(mathbf{x}_i\, (i=1,2,cdots,K))为该矩阵中的行向量，代表字典矩阵的系数。

注： (|mathbf{x}_i|_0)表示零阶范数，它表示向量中不为0的数的个数。

2.2 求解问题

式（2-1）的目标函数表示，我们要最小化查完的字典与原始样本的误差，即要尽可能还原出原始样本；它的限的制条件(|mathbf{x}_i|_0 le T_0)，表示查字典的方式要尽可能简单，即(mathbf{X})要尽可能稀疏。式（2-2）同理。

式（2-1）或式（2-2）是一个带有约束的优化问题，可以利用拉格朗日乘子法将其转化为无约束优化问题

[min_{mathbf{D, X}}{|mathbf{Y}-mathbf{DX}|^2_F}+lambda|mathbf{x}_i|_1 ag{2-3} ]

注：我们将(|mathbf{x}_i|_0)用(|mathbf{x}_i|_1)代替，主要是(|mathbf{x}_i|_1)更加便于求解。

这里有两个优化变量(mathbf{D, X})，为解决这个优化问题，一般是固定其中一个优化变量，优化另一个变量，如此交替进行。式（2-3）中的稀疏矩阵(mathbf{X})可以利用已有经典算法求解，如Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）、OMP（Orthogonal Matching Pursuit），这里我重点讲述如何更新字典(mathbf{D})，对更新(mathbf{X})不多做讨论。

假设(mathbf{X})是已知的，我们逐列更新字典。下面我们仅更新字典的第(k)列，记(mathbf{d}_k)为字典(mathbf{D})的第(k)列向量，记(mathbf{x}^k_T)为稀疏矩阵(mathbf{X})的第(k)行向量，那么对式（2-1），我们有

[egin{aligned} {|mathbf{Y}-mathbf{DX}|^2_F} =&left|mathbf{Y}-sum^K_{j=1}mathbf{d}_jmathbf{x}^j_T ight|^2_F \ =&left|left(mathbf{Y}-sum_{j e k}mathbf{d}_jmathbf{x}^j_T ight)-mathbf{d}_kmathbf{x}^k_T ight|^2_F\ =&left|mathbf{E}_k - mathbf{d}_kmathbf{x}_T^k ight|^2_F end{aligned} ag{2-4} ]

上式中残差(mathbf{E}_k=mathbf{Y}-sum_{j e k}mathbf{d}_jmathbf{x}^j_T)，

此时优化问题可描述为

[min_{mathbf{d}_k, mathbf{x}^k_T}left|mathbf{E}_k - mathbf{d}_kmathbf{x}_T^k ight|^2_F ]

因此我们需要求出最优的(mathbf{d}_k, mathbf{x}_T^k)，这是一个最小二乘问题，可以利用最小二乘的方法求解，或者可以利用SVD进行求解，这里利用SVD的方式求解出两个优化变量。

但是，在这里我人需要注意的是，不能直接利用(mathbf{E}_k)进行求解，否则求得的新的(mathbf{x}_k^T)不稀疏。因此我们需要将(mathbf{E}_k)中对应的(mathbf{x}_T^k)不为0的位置提取出来，得到新的(mathbf{E}_k^{'})，这个过程如图2-1所示，这样描述更加清晰。

图2-1 提取部分残差

如上图，假设我们要更新第0列原子，我们将(mathbf{x}_T^k)中为零的位置找出来，然后把(mathbf{E}_k)对应的位置删除，得到(mathbf{E}_k^{'})，此时优化问题可描述为

[min_{mathbf{d}_k, mathbf{x}^k_T}left|mathbf{E}_k^{'} - mathbf{d}_kmathbf{x{'}}_T^{k} ight|^2_F ag{2-5} ]

因此我们需要求出最优的(mathbf{d}_k, mathbf{x^{'}}_T^k)

[mathbf{E}_k^{'}=USigma V^T ag{2-6} ]

取左奇异矩阵(U)的第1个列向量(mathbf{u}_1=U(cdot,1))作为(mathbf{d}_k)，即(mathbf{d}_k=mathbf{u}_1)，取右奇异矩阵的第1个行向量与第1个奇异值的乘积作为(mathbf{x{'}}_T^k)，即(mathbf{x{'}}^k_T=Sigma(1,1)V^T(1,cdot))。得到(mathbf{x{'}}^k_T)后，将其对应地更新到原(mathbf{x}_T^k)。

注：式（2-6）所求得的奇异值矩阵(Sigma)中的奇异值应从大到小排列；同样也有(mathbf{x{'}}^k_T=Sigma(1,1)V(cdot,1)^T)，这与上面(mathbf{x{'}}^k_T)的求法是相等的。

2.3 字典学习算法实现

据2.2小节，利用稀疏算法求解得到稀疏矩阵(mathbf{X})后，逐列更新字典，有如下算法1.1。

算法1.1：字典学习（K-SVD）

输入：原始样本，字典，稀疏矩阵
输出：字典，稀疏矩阵

初始化： 从原始样本(Y in mathbf{R}^{m imes n})随机取(K)个列向量或者取它的左奇异矩阵的前(K)个列向量({mathbf{d}_1,mathbf{d}_2,cdots,mathbf{d}_K})作为初始字典的原子，得到字典(mathbf{D}^{(0)} in mathbf{R}^{m imes K})。令(j=0)，重复下面步骤2-3，直到达到指定的迭代步数，或收敛到指定的误差：
稀疏编码： 利用字典上一步得到的字典(mathbf{D}^{(j)})，稀疏编码，得到(mathbf{X}^{(j)}inmathbf{R}^{K imes n})。
字典更新： 逐列更新字典(mathbf{D}^{(j)})，字典的列(mathbf{d}_k in {mathbf{d}_1,mathbf{d}_2,cdots,mathbf{d}_K})
- 当更新(mathbf{d}_k)时，计算误差矩阵(mathbf{E}_k)
  
  [mathbf{E}_k=mathbf{Y}-sum_{j e k}mathbf{d}_jmathbf{x}^j_T. ]
- 取出稀疏矩阵第(k)个行向量(mathbf{x}^k_T)不为0的索引的集合(omega_k = {i|1le ile n, mathbf{x}_T^k(i) e 0})，(mathbf{x'}_T^{k} = {mathbf{x}_T^k(i)|1le ile n, mathbf{x}_T^k(i) e 0})
- 从(mathbf{E}_k)取出对应(omega_k)不为0的列，得到(mathbf{E}_k^{'}).
- 对(mathbf{E}_k^{'})作奇异值分解(mathbf{E}_k=USigma V^T)，取(U)的第1列更新字典的第(k)列，即(mathbf{d}_k=U(cdot,1))；令(mathbf{x'}^k_T=Sigma(1,1)V(cdot,1)^T)，得到(mathbf{x{'}}^k_T)后，将其对应地更新到原(mathbf{x}_T^k)。
- (j = j + 1)

3、字典学习Python实现

以下实验的运行环境为python3.6+jupyter5.4。

载入数据

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.io import loadmat

train_data_mat = loadmat("../data/train_data2.mat")

train_data = train_data_mat["Data"]
train_label = train_data_mat["Label"]

print(train_data.shape, train_label.shape)

注：上面的数据集，可以随便使用一个，也可以随便找一个张图片。

初始化字典

u, s, v = np.linalg.svd(train_data)
n_comp = 50
dict_data = u[:, :n_comp]

字典更新

def dict_update(y, d, x, n_components):
    """
    使用KSVD更新字典的过程
    """
    for i in range(n_components):
        index = np.nonzero(x[i, :])[0]
        if len(index) == 0:
            continue
        # 更新第i列
        d[:, i] = 0
        # 计算误差矩阵
        r = (y - np.dot(d, x))[:, index]
        # 利用svd的方法，来求解更新字典和稀疏系数矩阵
        u, s, v = np.linalg.svd(r, full_matrices=False)
        # 使用左奇异矩阵的第0列更新字典
        d[:, i] = u[:, 0]
        # 使用第0个奇异值和右奇异矩阵的第0行的乘积更新稀疏系数矩阵
        for j,k in enumerate(index):
            x[i, k] = s[0] * v[0, j]
    return d, x

注：上面代码的16~17需要注意python的numpy中的普通索引和花式索引的区别，花式索引会产生一个原数组的副本，所以对花式索引的操作并不会改变原数据，因此不能像第10行一样，需利用直接索引更新x。

迭代更新求解

可以指定迭代更新的次数，或者指定收敛的误差。

from sklearn import linear_model

max_iter = 10
dictionary = dict_data

y = train_data
tolerance = 1e-6

for i in range(max_iter):
    # 稀疏编码
    x = linear_model.orthogonal_mp(dictionary, y)
    e = np.linalg.norm(y - np.dot(dictionary, x))
    if e < tolerance:
        break
    dict_update(y, dictionary, x, n_comp)

sparsecode = linear_model.orthogonal_mp(dictionary, y)

train_restruct = dictionary.dot(sparsecode)