注：奇异值分解在数据降维中有较多的应用，这里把它的原理简单总结一下，并且举一个图片压缩的例子，最后做一个简单的分析，希望能够给大家带来帮助。
1、特征值分解（EVD）
实对称矩阵
在理角奇异值分解之前，需要先回顾一下特征值分解，如果矩阵(A)是一个(m imes m)的实对称矩阵（即(A = A^T)），那么它可以被分解成如下的形式
其中(Q)为标准正交阵，即有(QQ^T = I)，(Sigma)为对角矩阵，且上面的矩阵的维度均为(m imes m)。(lambda_i)称为特征值，(q_i)是(Q)（特征矩阵）中的列向量，称为特征向量。
注：(I)在这里表示单位阵，有时候也用(E)表示单位阵。式（1-1）的具体求解过程就不多叙述了，可以回忆一下大学时的线性代数。简单地有如下关系：(Aq_i = lambda_i q_i, quad q_i^T q_j = 0(i e j))。
一般矩阵
上面的特征值分解，对矩阵有着较高的要求，它需要被分解的矩阵(A)为实对称矩阵，但是现实中，我们所遇到的问题一般不是实对称矩阵。那么当我们碰到一般性的矩阵，即有一个(m imes n)的矩阵(A)，它是否能被分解成上面的式（1-1）的形式呢？当然是可以的，这就是我们下面要讨论的内容。
2、奇异值分解（SVD）
2.1 奇异值分解定义
有一个(m imes n)的实数矩阵(A)，我们想要把它分解成如下的形式
其中(U)和(V)均为单位正交阵，即有(UU^T=I)和(VV^T=I)，(U)称为左奇异矩阵，(V)称为右奇异矩阵，(Sigma)仅在主对角线上有值，我们称它为奇异值，其它元素均为0。上面矩阵的维度分别为(U in R^{m imes m}, Sigma in R^{m imes n}, V in R^{n imes n})。
一般地(Sigma)有如下形式
图1-1 奇异值分解
对于奇异值分解，我们可以利用上面的图形象表示，图中方块的颜色表示值的大小，颜色越浅，值越大。对于奇异值矩阵(Sigma)，只有其主对角线有奇异值，其余均为0。
2.2 奇异值求解
正常求上面的(U,V,Sigma)不便于求，我们可以利用如下性质
注：需要指出的是，这里(SigmaSigma^T)与(Sigma^TSigma)在矩阵的角度上来讲，它们是不相等的，因为它们的维数不同(SigmaSigma^T in R^{m imes m})，而(Sigma^TSigma in R^{n imes n})，但是它们在主对角线的奇异值是相等的，即有
[SigmaSigma^T = left[ egin{matrix} sigma_1^2 & 0 & 0 & 0\ 0 & sigma_2^2 & 0 & 0\ 0 & 0 & ddots & 0 \ 0 & 0 & 0 & ddots \ end{matrix} ight]_{m imes m}quad Sigma^TSigma = left[ egin{matrix} sigma_1^2 & 0 & 0 & 0\ 0 & sigma_2^2 & 0 & 0\ 0 & 0 & ddots & 0\ 0 & 0 & 0 & ddots\ end{matrix} ight]_{n imes n} ]
可以看到式（2-2）与式（1-1）的形式非常相同，进一步分析，我们可以发现(AA^T)和(A^TA)也是对称矩阵，那么可以利用式（1-1），做特征值分解。利用式（2-2）特征值分解，得到的特征矩阵即为(U)；利用式（2-3）特征值分解，得到的特征矩阵即为(V)；对(SigmaSigma^T)或(Sigma^TSigma)中的特征值开方，可以得到所有的奇异值。
3、奇异值分解应用
3.1 纯数学例子
假设我们现在有矩阵(A)，需要对其做奇异值分解，已知
那么可以求出(AA^T)和(A^TA)，如下
分别对上面做特征值分解，得到如下结果
U =
[[-0.55572489, -0.72577856, 0.40548161],
[-0.59283199, 0.00401031, -0.80531618],
[-0.58285511, 0.68791671, 0.43249337]]
V =
[[-0.18828164, -0.01844501, 0.73354812, 0.65257661, 0.06782815],
[-0.37055755, -0.76254787, 0.27392013, -0.43299171, -0.17061957],
[-0.74981208, 0.4369731 , -0.12258381, -0.05435401, -0.48119142],
[-0.46504304, -0.27450785, -0.48996859, 0.39500307, 0.58837805],
[-0.22080294, 0.38971845, 0.36301365, -0.47715843, 0.62334131]]
奇异值(Sigma = ext{Diag}(18.54, 1.83, 5.01))
3.2 在图像压缩中的应用
准备工具
下面的代码运行环境为python3.6+jupyter5.4
SVD（Python）
这里暂时用numpy自带的svd函数做图像压缩。
①读取图片
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.image as mpimg
import numpy as np
img_eg = mpimg.imread("../img/beauty.jpg")
print(img_eg.shape)
图片的大小是(600 imes 400 imes 3)
②奇异值分解
img_temp = img_eg.reshape(600, 400 * 3)
U,Sigma,VT = np.linalg.svd(img_temp)
我们先将图片变成(600 imes 1200)，再做奇异值分解。从svd函数中得到的奇异值sigma它是从大到小排列的。
③取前部分奇异值重构图片
# 取前60个奇异值
sval_nums = 60
img_restruct1 = (U[:,0:sval_nums]).dot(np.diag(Sigma[0:sval_nums])).dot(VT[0:sval_nums,:])
img_restruct1 = img_restruct1.reshape(600,400,3)
# 取前120个奇异值
sval_nums = 120
img_restruct2 = (U[:,0:sval_nums]).dot(np.diag(Sigma[0:sval_nums])).dot(VT[0:sval_nums,:])
img_restruct2 = img_restruct2.reshape(600,400,3)
将图片显示出来看一下，对比下效果
fig, ax = plt.subplots(1,3,figsize = (24,32))
ax[0].imshow(img_eg)
ax[0].set(title = "src")
ax[1].imshow(img_restruct1.astype(np.uint8))
ax[1].set(title = "nums of sigma = 60")
ax[2].imshow(img_restruct2.astype(np.uint8))
ax[2].set(title = "nums of sigma = 120")
图3-1 奇异值重构图片
可以看到，当我们取到前面120个奇异值来重构图片时，基本上已经看不出与原图片有多大的差别。
注：上面的美女图片源于网络，侵删。
总结
从上面的图片的压缩结果中可以看出来，奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值，或者说，奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时，它代表的信息越多。因此，我们取前面若干个最大的奇异值，就可以基本上还原出数据本身。
如下，可以作出奇异值数值变化和前部分奇异值和的曲线图，如下图所示
奇异值变化图
从上面的第1个图，可以看出，奇异值下降是非常快的，因此可以只取前面几个奇异值，便可基本表达出原矩阵的信息。从第2个图，可以看出，当取到前100个奇异值时，这100个奇异值的和已经占总和的95%左右。
最后，还有一点需要提到的是，如果自己想不调用np.linalg.svd函数，手动实现奇异值分解的话，单纯利用第2小节的内容实现，有点不够，有个问题需要注意。这里暂时不多做讨论了，大家有兴趣可以看我下面分享的《SVD（奇异值分解）Python实现》，重点可以看看其中SVD算法实现。