基础组合数学练习题/cy
按照题面描述，不难想到枚举(a_1)的大小(x)和值为(x)的数的个数(y)，不难写出获胜概率如下
[sum_{x=r}^ssum_{y=1}^pfrac{1}{y}dbinom{p-1}{y-1}f(p-y,s-xy,x)
]
其中(f(n,m,x))表示(n)个互不相同的盒子(m)个球，每个盒子的球数小于(x)的方案数。这个经典问题考虑容斥有多少个一定大于等于(x)，则有
[f(n,m,x)=sum_{i=1}^n(-1)^idbinom{n}{i}g(m-xi,n)
]
(g(n,m))则表示将(m)个球放入互不相同的(n)个盒子的方案数，为(dbinom{m+n-1}{n-1})
最后不要忘记除上总共的情况数(g(s-r,p))，同时注意一些边界问题
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double db;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=5100;
const db pi=acos(-1.0);
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define sqr(x) (x)*(x)
#define rep(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;i--)
#define fir first
#define sec second
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pb(a) push_back(a)
#define maxd 998244353
#define eps 1e-8
int p,s,r;
ll c[5120][5120];
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
return x*f;
}
void init()
{
rep(i,0,N)
{
c[i][0]=1;
rep(j,1,i) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%maxd;
}
}
ll calc(int n,int m,int lim)
{
if ((!n) && (!m)) return 1;
ll ans=0;
rep(i,0,n)
{
if (i*lim>m) break;
ll tmp=c[n][i]*c[m-i*lim+n-1][n-1]%maxd;
if (i&1) ans=(ans+maxd-tmp)%maxd;else ans=(ans+tmp)%maxd;
}
return ans;
}
ll qpow(ll x,int y)
{
ll ans=1;
while (y)
{
if (y&1) ans=ans*x%maxd;
x=x*x%maxd;y>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
p=read();s=read();r=read();
init();ll ans=0;
rep(x,r,s)
{
if (x*p<s) continue;
rep(y,1,p)
{
if ((y*x>s) || ((p-y)*(x-1)+y*x<s)) continue;
ans=(ans+calc(p-y,s-y*x,x)*qpow(y,maxd-2)%maxd*c[p-1][y-1]%maxd)%maxd;
}
}
ans=ans*qpow(c[s-r+p-1][p-1],maxd-2)%maxd;
printf("%lld",ans);
return 0;
}