时间序列异常检测算法S-H-ESD

1. 基于统计的异常检测

Grubbs' Test

Grubbs' Test为一种假设检验的方法，常被用来检验服从正太分布的单变量数据集（univariate data set）(Y) 中的单个异常值。若有异常值，则其必为数据集中的最大值或最小值。原假设与备择假设如下：

(H_0): 数据集中没有异常值
(H_1): 数据集中有一个异常值

Grubbs' Test检验假设的所用到的检验统计量（test statistic）为

[G = frac{max |Y_i - overline{Y}|}{s} ]

其中，(overline{Y})为均值，(s)为标准差。原假设(H_0)被拒绝，当检验统计量满足以下条件

[G > frac{(N-1)}{sqrt{N}}sqrt{frac{ (t_{alpha/(2N), N-2})^2}{N-2 + (t_{alpha/(2N), N-2})^2}} ]

其中，(N)为数据集的样本数，(t_{alpha/(2N), N-2})为显著度(significance level)等于(alpha/(2N))、自由度（degrees of freedom）等于(N-2)的t分布临界值。实际上，Grubbs' Test可理解为检验最大值、最小值偏离均值的程度是否为异常。

ESD

在现实数据集中，异常值往往是多个而非单个。为了将Grubbs' Test扩展到(k)个异常值检测，则需要在数据集中逐步删除与均值偏离最大的值（为最大值或最小值），同步更新对应的t分布临界值，检验原假设是否成立。基于此，Rosner提出了Grubbs' Test的泛化版ESD（Extreme Studentized Deviate test）。算法流程如下：

计算与均值偏离最远的残差，注意计算均值时的数据序列应是删除上一轮最大残差样本数据后；

egin{equation}
R_j = frac{max_i |Y_i - overline{Y'}|}{s}, quad 1 leq j leq k
label{eq:esd_test}
end{equation}

计算临界值（critical value）；

[lambda_j = frac{(n-j) * t_{p,n-j-1}}{sqrt{(n-j-1+t_{p,n-j-1}^2)(n-j+1)}}, quad 1 leq j leq k ]

检验原假设，比较检验统计量与临界值；若(R_i > lambda_j)，则原假设(H_0)不成立，该样本点为异常点；
重复以上步骤(k)次至算法结束。

2. 时间序列的异常检测

鉴于时间序列数据具有周期性（seasonal）、趋势性（trend），异常检测时不能作为孤立的样本点处理；故而Twitter的工程师提出了S- ESD (Seasonal ESD)与S-H-ESD (Seasonal Hybrid ESD)算法，将ESD扩展到时间序列数据。

S-ESD

STL将时间序列数据分解为趋势分量、周期分量和余项分量。想当然的解法——将ESD运用于STL分解后的余项分量中，即可得到时间序列上的异常点。但是，我们会发现在余项分量中存在着部分假异常点（spurious anomalies）。如下图所示：

在红色矩形方框中，向下突起点被误报为异常点。为了解决这种假阳性降低准确率的问题，S-ESD算法用中位数（median）替换掉趋势分量；余项计算公式如下：

[R_X = X - S_X- ilde{X} ]

其中，(X)为原时间序列数据，(S_X)为STL分解后的周期分量，( ilde{X})为(X)的中位数。

S-H-ESD

由于个别异常值会极大地拉伸均值和方差，从而导致S-ESD未能很好地捕获到部分异常点，召回率偏低。为了解决这个问题，S-H-ESD采用了更具鲁棒性的中位数与绝对中位差（Median Absolute Deviation, MAD）替换公式eqref{eq:esd_test}中的均值与标准差。MAD的计算公式如下：

[MAD = median(|X_i - median(X)|) ]

S-H-ESD的Python实现有pyculiarity
，时间序列异常检测数据集有Yahoo公开的A Labeled Anomaly Detection Dataset。

3. 参考资料

[1] Hochenbaum, Jordan, Owen S. Vallis, and Arun Kejariwal. "Automatic Anomaly Detection in the Cloud Via Statistical Learning." arXiv preprint arXiv:1704.07706 (2017).