1. 关联分析

关联分析是一类非常有用的数据挖掘方法，能从数据中挖掘出潜在的关联关系。比如，在著名的购物篮事务（market basket transactions）问题中，

TID	Iterms
1	{Bread, Milk}
2	{Bread, Diapers, Beer, Eggs}
3	{Milk, Diapers, Beer, Cola}
4	{Bread, Milk, Diapers, Beer}
5	{Bread, Milk, Beer, Cola}

关联分析则被用来找出此类规则：顾客在买了某种商品时也会买另一种商品。在上述例子中，大部分都知道关联规则：{Diapers} → {Beer}；即顾客在买完尿布之后通常会买啤酒。后来通过调查分析，原来妻子嘱咐丈夫给孩子买尿布时，丈夫在买完尿布后通常会买自己喜欢的啤酒。但是，如何衡量这种关联规则是否靠谱呢？下面给出了度量标准。

支持度与置信度

关联规则可以描述成：项集 → 项集。项集(X)出现的事务次数（亦称为support count）定义为：

[sigma (X) = |t_i|X subseteq t_i, t_i in T| ]

其中，(t_i)表示某个事务（TID），(T)表示事务的集合。关联规则(X longrightarrow Y)的支持度（support）：

[s(X longrightarrow Y) = frac{sigma (X cup Y)}{|T|} ]

支持度刻画了项集(X cup Y)的出现频次。置信度（confidence）定义如下：

[s(X longrightarrow Y) = frac{sigma (X cup Y)}{sigma (X)} ]

对概率论稍有了解的人，应该看出来：置信度可理解为条件概率(p(Y|X))，度量在已知事务中包含了(X)时包含(Y)的概率。

对于靠谱的关联规则，其支持度与置信度均应大于设定的阈值。那么，关联分析问题即等价于：对给定的支持度阈值min_sup、置信度阈值min_conf，找出所有的满足下列条件的关联规则：

egin{aligned}
& 支持度 >= min\_sup cr
& 置信度 >= min\_conf cr
end{aligned}

把支持度大于阈值的项集称为频繁项集（frequent itemset）。因此，关联规则分析可分为下列两个步骤：

生成频繁项集(F=X cup Y)；
在频繁项集(F)中，找出所有置信度大于最小置信度的关联规则(X longrightarrow Y)。

暴力方法

若（对于所有事务集合）项的个数为(d)，则所有关联规则的数量：

[egin{aligned} & sum_{i}^d C_d^i sum_{j}^{d-i} C_{d-i}^j cr = & sum_{i}^d C_d^i ( 2^{d-i} -1) cr = & sum_{i}^d C_d^i * 2^{d-i} - 2^d + 1 cr = & (3^d - 2^d) - 2^d +1 cr = & 3^d - 2^{d+1} + 1 end{aligned} ]

如果采用暴力方法，穷举所有的关联规则，找出符合要求的规则，其时间复杂度将达到指数级。因此，我们需要找出复杂度更低的算法用于关联分析。

2. Apriori算法

Agrawal与Srikant提出Apriori算法，用于做快速的关联规则分析。

频繁项集生成

根据支持度的定义，得到如下的先验定理：

定理1：如果一个项集是频繁的，那么其所有的子集（subsets）也一定是频繁的。

这个比较容易证明，因为某项集的子集的支持度一定不小于该项集。

定理2：如果一个项集是非频繁的，那么其所有的超集（supersets）也一定是非频繁的。

定理2是上一条定理的逆反定理。根据定理2，可以对项集树进行如下剪枝：

项集树共有项集数：(sum_{k=1}^d k imes C_{d}^k = d cdot 2^{d-1})。显然，用穷举的办法会导致计算复杂度太高。对于大小为(k-1)的频繁项集(F_{k-1})，如何计算大小为(k)的频繁项集(F_k)呢？Apriori算法给出了两种策略：

(F_k = F_{k-1} imes F_1)方法。之所以没有选择(F_{k-1})与（所有）1项集生成(F_k)，是因为为了满足定理2。下图给出由频繁项集(F_2)与(F_1)生成候选项集(C_3)：
(F_k = F_{k-1} imes F_{k-1})方法。选择前(k-2)项均相同的(f_{k-1})进行合并，生成(F_{k-1})。当然，(F_{k-1})的所有(f_{k-1})都是有序排列的。之所以要求前(k-2)项均相同，是因为为了确保(F_k)的(k-2)项都是频繁的。下图给出由两个频繁项集(F_2)生成候选项集(C_3)：

生成频繁项集(F_k)的算法如下：

关联规则生成

关联规则是由频繁项集生成的，即对于(F_k)，找出项集(h_m)，使得规则(f_k-h_m longrightarrow h_m)的置信度大于置信度阈值。同样地，根据置信度定义得到如下定理：

定理3：如果规则(X longrightarrow Y-X)不满足置信度阈值，则对于(X)的子集(X')，规则(X' longrightarrow Y-X')也不满足置信度阈值。

根据定理3，可对规则树进行如下剪枝：

关联规则的生成算法如下：

3. 参考资料

[1] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.