理解闭包Closure

在数学中，一个集合被称为在某个运算下闭合，如果在这个集合的成员上的运算生成这个集合的成员。例如，实数在减法下闭合，但自然数不行: 自然数 3 和 7 的减法 3 - 7 的结果不是自然数。

类似的，一个集合被称为在某些运算的搜集下闭合，如果它单独的闭合在每个运算之下。

一个集合闭合在某个运算或某些运算的搜集下被称为满足闭包性质。闭包性质经常作为公理，通常叫做闭包公理。注意现代集合论定义通常定义运算为在集合间的映射，所以向一个结构增加闭包作为公理是多余的，尽管它对于子集是否闭合的问题仍有意义。

当一个集合 S 不闭合在某个运算下的时候，我们通常可以找到包含 S 的最小的闭合集合。这个最小闭合集合被称为 S 的(关于这个运算的)闭包。例如，在自然数集的减法下的闭包，被看作实数的子集，是整数集。一个重要的例子是拓扑闭包。闭包的概念推广为伽罗瓦连接，进一步为monad。

注意集合 S 必须是闭包算子定义在其上的闭合集合的子集，在前面的例子中，实数在减法下闭合是重要的，减法不总是在自然数的定义域中有定义的。

闭包这个词的两种用法不应混淆。前者用来提及闭合的性质，而后者提及包含不闭合集合的最小闭合集合。简要的说，一个集合的闭包满足闭包性质。

简言之，闭包是在某个运算下闭合(封闭)的集合。