在数学和其他自然科学中，经常要考虑从某些前提a1，a2，…，an能够推导出什么结论。例如从分子学说，原子学说，能够得到什么结论，从光的波动学说，能得到什么结论等等。我们一般地要对〃假设〃的内容作深入分析，并推究其间的关系，从而得到结论。但也有一些道理，只需分析假设中的真值和联结词，便可获得结论。
在实际应用的推理中，我们常常把本门学科的一些定律、定理和条件，作为假设前提，尽管这些前提在数理逻辑中实非永真，但在推理过程中，却总是假设这些命题为t，并使用一些公认的规则，得到另外的命题，形成结论，这种过程就是论证。
定义1-8。1 设a和c是两个命题公式，当且仅当a→c为一重言式，既aþc，称c是a的有效结论。或c可由a逻辑地推出。
这个定义可以推广到有n个前提的情况。
设 h1, h2, …,hn，c是命题公式，当且仅当
h1∧ h2∧ …∧hnþc （ａ） 称ｃ是一组前提h1, h2, …,hn的有效结论。
判别有效结论的过程就是论证过程，论证方法千变万化，但基本方法是真值表法、直接证法和间接证法。
（１）真值表法
设p1, p2, …,pn 是出现于前提h1, h2, …, hm和结论c中的全部命题变元，假定对p1, p2, …, pn作了全部的真值指派，这样就能对应地确定h1, h2, …, hm和c的所有真值，列出这个真值表，即可看出（a）式是否成立。
因为若从真值表上找出h1, h2, …, hm真值均为t的行，对于每一个这样的行，若c也有真值t，则上述蕴涵式成立；或者找出c的真值为f的行，对于每一个这样的行，h1, h2, …, hm的真值中至少有一个为f，则上述蕴涵式也成立。
现举例说明如下：
例题１一份统计表格的错误或者是由于材料不可靠，或者是由于计算机有错误；这份统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。
解 设各命题变元为
ｐ：统计表格的错误是由于材料不可靠。
ｑ：统计表格的错误是由于计算有错误。
本例可译为：ｑ是前提ｐ∨ｑ，┓ｐ的有效结论，即 ┓p∧（p∨q）þｑ
我们列出真值表１－８.1如下：
表１－８.1
| p | q | p∨q | ┓p |
| t | t | t | f |
| t | f | t | f |
| f | t | t | t |
| f | f | f | t |
从表上看到只有在第三行 p∨q和 ┓p的真值都为t，这时q的真值亦为t。故（ p∨q）∧ （┓p）þ q成立。或者考察q的真值为f的情况，在第二行和第四行，其相应的 p∨q或 ┓p中至少有一真值为f，故亦说明 （ p∨q）∧ （┓p）þ q成立.
例题2 如果张老师来了，这个问题可以得到解答，如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总之张老师或 李老师来了，这个问题就可得到解答。
解 若设 p：张老师来了。
q：李老师来了。
ｒ：这个问可以得到解答。
上述语句可翻译成下述命题关系式
（p→ｒ）∧（ｑ→ｒ）∧（ p∨q）þｒ
列出真值表1-8.2如下
表1-8.2
| p | q | r | p→ｒ | ｑ→ｒ | p∨q |
| t | t | t | t | t | t |
| t | t | f | f | f | t |
| t | f | t | t | t | t |
| t | f | f | f | t | t |
| f | t | t | t | t | t |
| f | t | f | t | f | t |
| f | f | t | t | t | f |
| f | f | f | t | t | f |
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从真值表看到，p→ｒ，ｑ→ｒ， p∨q 的真值都为t的情况为第一行、第三行和第五行，而在这三行中r的真值均为t。故
（p→ｒ）∧（ｑ→ｒ）∧（ p∨q）þｒ
（2）直接证法
直接证法就是由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或蕴涵公式，推演得到有效的结论。
p规则前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用。
t规则在推导中，如果有一个或多个公式、重言蕴涵着公式s，则公式s可以引入推导中。
现将常用的蕴涵式和等价式列入表1-8.3和表1-8.4中。
例题1 证明 （ p∨q）∧（p→ｒ）∧（ｑ→ｒ）þs∨r
证法1 （1）p∨q ｐ
（２）┓p→q ｔ（１）ｅ
（３）ｑ→ｓ ｐ
（４）┓p→ｓ ｔ（２），（３）１
表1-8.3
| i1 | p∧qþp |
| i2 | p∧qþq |
| i3 | pþp∨q |
| i4 | qþp∨q |
| i5 | ┓pþp→q |
| i6 | qþp→q |
| i7 | ┓（p→q）þp |
| i8 | ┓（p→q）þ┓q |
| i9 | p，qþp∧q |
| i10 | ┓p，p∨qþq |
| i11 | p，p→qþq |
| i12 | ┓q，p→qþ┓p |
| i13 | p→q，q→rþp→r |
| i14 | p∨q，p→r，q→rþr |
| i15 | a→bþ（a∨c）→（b∨c） |
| i16 | a→bþ（a∧c）→（b∧c） |
表1-8.4
| e1 | ┓┓pûp |
| e2 | p∧qûq∧p |
| e3 | p∨qûq∨p |
| e4 | （p∧q）∧rûp∧（q∧r） |
| e5 | （p∨q）∨rûp∨（q∨r） |
| e6 | p∧（q∨r）û（p∧q）∨（p∧r） |
| e7 | p∨（q∧r）û（p∧q）∨（p∧r） |
| e8 | ┓（p∧q）û┓p∨┓q |
| e9 | ┓（p∨q）û┓p∧┓q |
| e10 | p∨pûp |
| e11 | p∧pûp |
| e12 | r∨（p∧┓p）ûr |
| e13 | p∧（p∨┓p）ûr |
| e14 | r∨（p∨┓p）ût |
| e15 | p∧（p∧┓p）ûf |
| e16 | p→qû┓p∨q |
| e17 | ┓（p→q）ûp∧┓q |
| e18 | p→qû┓q→┓p |
| e19 | p→（q→r）û（p∧q）→r |
| e20 | p«qû（p→q）∧（q→p） |
| e21 | p«qû（p ∧q）∨（┓p∧┓q） |
| e22 | ┓（p«q）ûp«┓q |
（5）┓s→p ｔ（４）ｅ
（６）ｐ →ｒ ｐ
（７）┓s→ｒ ｔ（５），（６）ｉ
（８）ｓ∨ｒ ｔ（７）ｅ
证法2 （1）p →ｒ ｐ
（２）ｐ ∨ｑ→ｒ∨ｑ ｔ（１）ｉ
（３）ｑ→ｓ ｐ
（４）ｑ∨ｒ→ｓ∨ｒ ｔ（３）ｉ
（５）ｐ∨ｑ→ｓ∨ｒ ｔ（２），（４）ｉ
（６）ｐ∨ｑ ｐ
（７）ｓ∨ｒ ｔ（５），（６）ｉ
例题2 证明 （w∨r）→v，v→c∨s，s→u，┓c∧┓uþ┓w
证明 （1） ┓c∧┓u ｐ
（2） ┓u ｔ（１）ｉ
（３）s→u ｐ
（４）┓ｓ ｔ（２），（３）ｉ
（５）┓c ｔ（１）ｉ
（６）┓c∧┓ｓ ｔ（４），（５）ｉ
（７）┓（c∨s） ｔ（６）ｅ
（８）（w∨r）→v ｐ
（９）v→（c∨s） ｐ
（１０）（w∨r）→（c∨s） ｔ（８），（９）ｉ
（１１）┓（w∨r） ｔ（７），（１０）ｉ
（１２）┓ｗ∧┓ｒ ｔ（１１）ｅ
（１３）┓ｗ ｔ（１２）ｉ
（3）间接证法
定义1-8.2 假设公式h1, h2, …, hm中的命题变元为p1, p2, …, pn，对于p1, p2, …, pn的一些真值指派，如果能使h1∧ h2∧ …∧hm的真值为t，则称公式h1, h2, …, hm是相容的。如果对于p1, p2, …, pn的每一组真值指派使得h1∧ h2∧ …∧hm的真值均为f，则称公式h1, h2, …, hm是不相容的。
现在可把不相容的概念应用于命题公式的证明。
设有一组前提h1, h2, …, hm，要推出结论c，即证h1∧ h2∧ …∧hmþc，记作sþc,既┓c→┓s为永真，或c∨┓s为永真，故┓c┓s为永假。因此要证明h1∧ h2∧ …∧hmþc，只要证明h1, h2, …, hm与┓c是不相容。
例题3 证明a→b，┓（b∨c）可逻辑推出┓a
证明 （1）a→b ｐ
（2）a ｐ（附加前提）
（3）┓（b∨c） p
（4）┓ｂ∧┓ｃ t（3）e
（5）b t（1），（2）i
（6）┓ｂ ｔ（４）ｉ
（7）ｂ∧┓ｂ（矛盾） t（5），（6）i
例题4 证明 （p∨q）∧（p→r）∧（q→s）þ s∨r
证明 （1）┓（s∨r） p（附加前提）
（2）┓s∧┓r t（1）e
（3）p∨q p
（4）┓p →q t（3）e
（5）q→s p
（6）┓p→s t（4），（5）i
（7）┓s→p t（6）e
（8）（┓s∧┓r）→（p∧┓r） ｔ（7）i
（9）p∧┓r t（2），（8）i
（10）p→r p
（11）┓p ∨r t（10）e
（12）┓（p ∨┓r） t（11）e
（13）（p∧┓r）∧┓（p ∧┓r）（矛盾） t（9），（12）i
间接证法的另一种情况是：若要证h1∧ h2∧ …∧hmþ（r→c）。设h1∧ h2∧ …∧hm为s，
即证sþ（r→c）或sþ（┓r∨c），故s→（┓r∨c）为永真式。因为s→（┓r∨c）û┓s∨（┓r∨c）û（┓s∨┓r）∨cû┓（s∧r）∨cû（s∧r）→c，所以若将r作附加前提，如有（s∧r）→c，即证得s þ（r→c）。由（s∧r）þc，证得sþ（r →c）称为cp规则。
例题5 证明a→（b→c），┓d∨a，b重言蕴涵d→c
证明 （1）d p（附加前提）
（2）┓d∨a p
（3）a t（1），（2）i
（4）a→（b→c） ｐ
（5）b →c t（3），（4）i
（6）b p
（7）c t（5），（6）i
（8）d →c cp
例题6 没有下列情况结论是否有效？
（a） 或者是天晴，或者是下雨。
（b） 如果是天晴，我去看电影。
（c） 如果我去看电影，我就不看书。
结论：如果我在看书则天在下雨。
解 若设 m：晴天。
q：下雨。
s：我看电影。
r：我看书。
故本题即证：m∨q，m→s，s→┓r，推出r→q
因为 （m∨q）û┓（m«q）
（1）r p（附加前提）
（2）s→┓p p
（3）p→┓s t（2）e
（4）┓s t（1）（3）i
（5）m→s p
（6）┓m t（4），（5）i
（7）┓（m→←q） p
（8）m→←┓q t（7）e
（9）（m→┓q）∧（┓q→m） t（8）e
（10）┓q→m t（9）i
（11）┓m→q t（10）e
（12）q t（60，（11）i
（13）r→q cp