Problem F Dogs of Qwordance Senior Backend R&D Engineers
问题描述
那年夏天，锘爷和杰师傅漫步在知春公园的小道上。他们的妻子、孩子牵 着狗在前面嬉戏，二人笑语盈盈，他们不深究一个小的编程问题，而是对整个 Qwordance （四字舞蹈）公司的发展前景加以描绘。这样的场景，想想就觉得好 美，想想就好向往，想想就好激动。然而，他们的狗觉得这非常的无聊，决定自 己去玩。 杰师傅的狗非常挑剔。它希望找到一块面积为 x 的长方形广场，还要求广 场的长和宽都是整数。锘爷的狗不屑地说：“这还不简单，总共有 σ0(x) 种方案 呢。”杰师傅的狗却摇了摇头说：“找到这个广场后，我们要在上面画上水平和垂 直的网格，使得水平、垂直网格之间的间距分别是相同的整数。算了这太难了， 我们去听他们讨论 Qwordance 未来发展大方向吧。”锘爷的狗说：“这也不难啊， 总共有，咦，多少方案啊？”杰师傅的狗鄙视道：“你看你连个方案数都算不出， 我不要和你玩了。像你这样的狗在朝鲜是会被做成狗肉火锅的。你走吧。”锘爷 的狗想去问锘爷的儿子（中关村小学生信息学竞赛冠军），然而怕被小主人嘲笑， 请你帮帮它吧。
输入格式 输入包含多组数据（最多 450 组），请处理到文件结束。
每组数据包含一个整数，即 x 。 对于所有数据有 1 ≤ x ≤ 1012。
输出格式 对于每组数据输出 1 行，包含面积为 x 的广场的方案数。
只要广场的长或 宽不同，或网格划分方案不同，就是不同的方案（见样例解释）。
输入输出样例 输入样例 输出样例
1 4
1 10
关键：令$zeta (x)$=一个数的质因子的个数，$f(x)$为解的个数，
因为任何一个数可以按照唯一分解定理，分解为$x = prodlimits_{i = 1}^k {{p_i}^{{a_i}}} $,${p_i}$为质数，
因此，$zeta (x) = prodlimits_{i = 1}^k {({a_i} + 1)}$，
$f(x) = sumlimits_{d|n} {prodlimits_{i = 1}^k {({a_i} + 1)*({c_i} - {a_i} + 1)} } $
$f(x) = prodlimits_{i = 1}^k {sumlimits_{j = 1}^{{a_i}} {(j + 1)({a_i} - j + 1)} } $(乘法原理)
注意：（1）分解质因数时，只需到$sqrt n $即可，因为大于等于$sqrt n $的质数最多只有一个，这时候，只需将结果乘4即可。
（2）分解素数的两种方法，埃氏筛法、线性筛法，其中线性筛法的复杂度更低，埃氏筛法可以舍弃了。
（3）时常注意优化复杂度（dalao的教导）
（4）ios::sync_with_stdio(false);可用于加快cin与cout的速度。
线性筛：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 #define N 10000001 5 ll prime[N+2],k; 6 bool is_not_prime[N+2]={true,true}; 7 void sieve(){ 8 for(ll i=2;i<N;i++){ 9 if(!is_not_prime[i]){ 10 prime[k++]=i; 11 } 12 for(ll j=0;j<k&&i*prime[j]<N;j++){ 13 is_not_prime[i*prime[j]]=true; 14 if(i%prime[j]==0) break; 15 } 16 } 17 }
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 #define N 1000002 5 int prime[N+3],p; 6 ll n; 7 bool is_prime[N+3]; 8 int index[N+3]; 9 void sieve(){ 10 p=0; 11 for(int i=0;i<N;i++){ 12 is_prime[i]=true; 13 } 14 is_prime[0]=is_prime[1]=false; 15 for(int i=2;i<N;i++){ 16 if(is_prime[i]){ 17 prime[p++]=i; 18 for(int j=2*i;j<N;j+=i){ 19 is_prime[i]=false; 20 } 21 } 22 } 23 }//埃筛 24 /*void sieve(){ 25 is_prime[1]=1; 26 for(ll i=2;i<N;++i){ 27 if(!is_prime[i])prime[p++]=i; 28 for(ll j=0;j<p&&prime[j]*i<N;++j){ 29 is_prime[prime[j]*i]=1; 30 if(i%prime[j]==0)break; 31 } 32 } 33 }*/ 34 //线性筛 35 36 int main(){ 37 ios::sync_with_stdio(false); 38 sieve(); 39 while(cin>>n){ 40 ll ans=1; 41 for(int i=0;1ll*prime[i]*prime[i]<=n;i++){ 42 if(n%prime[i]==0){ 43 ll index=0,part=0; 44 while(n%prime[i]==0){ 45 n/=prime[i]; 46 index++; 47 } 48 for(ll j=0;j<=index;j++) part+=(j+1)*(index-j+1); 49 ans*=part; 50 } 51 }if(n!=1) ans*=4; 52 cout<<ans<<endl; 53 } 54 return 0; 55 }