1. 二重积分
1.1 定义和性质
一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线(y=f(x))换成了曲面(z=f(x,y))，曲面在(xy)平面上的投影(D)即为定义域。为求得曲面和(D)之间柱体(Omega)的体积，可以将(D)划分为若干区域(D_1,D_2,cdots,D_n)。设所有区域最大直径为(d)，且各区域的面积为(varDeltasigma_i)，在某个区域任取((xi_i,eta_i)in D_i)，则式（1）称为一个积分和。若(limlimits_{d o 0}omega)的极限存在，则称(f(x,y))为(D)上的可积函数，并称极限为(f(x,y))在(D)上的二重积分（式（2））。
[omega=sumlimits_{i=1}^nf(xi_i,eta_i)varDeltasigma_i ag{1}]
[iint_Df(x,y)\, ext{d}sigma=iint_Df(x,y)\, ext{d}x\, ext{d}y=limlimits_{d o 0}omega ag{2}]
若记分割(pi)下积分和的上、下确界分别是(S(pi),s(pi))，它们和一元积分中的性质完全一样，并易知二重积分可积的充要条件是式（3）成立。利用该式可知连续函数是可积的，还容易证明，改变面积为(0)的点集的函数值，并不改变可积性。还有关于有界性、(kf(x,y),f(x,y)pm g(x,y))的二重积分公式、二重积分分片公式、绝对可积的判定、积分中值定理等，都与一元积分相同，故不作赘述。
[limlimits_{d o 0}(S(pi)-s(pi))=0 ag{3}]
1.2 积分的计算
1.2.1 累次积分
相比较重积分，形式(int_c^d\, ext{d}yint_a^bf(x,y)\, ext{d}x)的积分被称为累次积分，我们自然想问，(f(x,y))在(D=[a,b] imes[c,d])上的重积分与累次积分是什么关系？先假设(f(x,y))可积，且对任何(y)存在积分(I(y)=int_a^bf(x,y)\, ext{d}x)，现在来讨论(I(y))的可积性。
对(D)作分割(a=x_0<cdots<x_n=b,c=y_0<cdots<y_m=d)，各小块及其上确界记作(D_{ij},M_{ij})，在([y_{j-1},y_j])上任意取(eta_j)，则易知(I(y))的积分和满足式（4）。同样可知积分和不小于(s)，根据二重积分的存在性知(s,S)趋于积分值，从而累次积分也有相同的积分值。总结就是。重积分和某个一元积分存在时，累次积分存在且等于重积分。特别地，对(D)上的连续函数有式（5）成立。
[sumlimits_{j=1}^mvarDelta y_jint_a^bf(x,eta_j)\, ext{d}xleqslantsumlimits_{j=1}^mvarDelta y_jsumlimits_{i=1}^nM_{ij}varDelta x_i=S ag{4}]
[iint_Df(x,y)\, ext{d}x\, ext{d}y=int_c^d\, ext{d}yint_a^bf(x,y)\, ext{d}x=int_a^b\, ext{d}xint_c^df(x,y)\, ext{d}y ag{5}]
有时候，定义域本身是关于(y)（或(x)）的函数，比如(D={xin(a(y),b(y)),yin[a,d]})，其实可以用(0)将(D)补全为一个矩形。从而如果(f(x,y))可积，且对任何(y)在(xin[a(y),b(y)])上可积，则有式（6）成立。对于一个无洞的凸区域的连续函数，两种累积分都成立，可以选择很方便的一个求积。
[iint_Df(x,y)\, ext{d}x\, ext{d}y=int_c^d\, ext{d}yint_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\, ext{d}x ag{6}]
1.2.2 换元法
在一元积分中，换元法有时可以化简积分运算，这里继续在重积分中讨论换元法。设(x,y)由式（7）的向量值函数给出，并且雅克比行列式非(0)，则(x,y)与(u,v)是一一对应的。在后面的《向量分析》课程中，对微分有结论( ext{d}x\, ext{d}y=|J| ext{d}u\, ext{d}v)，从而可以得到重积分的换元公式（8）。
[left{egin{matrix}x=x(u,v)\y=y(u,v)end{matrix} ight.,quad J=dfrac{partial(x,y)}{partial(u,v)} e 0 ag{7}]
[iint_Df(x,y)\, ext{d}x\, ext{d}y=iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|\, ext{d}u\, ext{d}v ag{8}]
当某个封闭区域明显由两个变量独立确定时，换元公式可以简化积分运算。比如(D={1leqslant xyleqslant 2,xleqslant yleqslant 2x})时，令(xy=u,dfrac{y}{x}=v)，便可得到([1,2] imes[1,2])上的向量值函数(x(u,v),y(u,v))。(u,v)的选择有时是根据(D)的特点，有时还要考虑被积函数的特点。比如在(x=0,y=0,x+y=1)围成的区域内求(e^{frac{x+y}{x-y}})的重积分，利用变换(x+y=u,x-y=v)将更简单。
现在来着重考虑一下极坐标变换（9），可以有换元公式（10），定理论证中要注意对原点和(x)正轴的讨论（讨论略去）。对不包含原点的区域，如果任何从原点出发的射线与它的边界最多有两个交点，则使用式（11）左的累次积分，如果任何以原点为圆心的圆与它的边界最多有两个交点，则使用式（11）右的累次积分。当区域包含原点，且边界为函数(r( heta))时，则有式（12）成立。
[left{egin{matrix}x=rcos{ heta}\y=rsin{ heta}end{matrix} ight.,quad J=dfrac{partial(x,y)}{partial(r, heta)}=r ag{9}]
[iint_Df(x,y)\, ext{d}x\, ext{d}y=iint_{D'}f(rcos heta),rsin heta)r\, ext{d}r\, ext{d} heta ag{10}]
[int_{ heta_1}^{ heta_2} ext{d} hetaint_{r_1( heta)}^{r_2( heta)}f(rcos heta,rsin heta)r\, ext{d}r;quadint_{r_1}^{r_2}r\, ext{d}rint_{ heta_1(r)}^{ heta_2(r)}f(rcos heta,rsin heta)\, ext{d} heta ag{11}]
[iint_Df(x,y)\, ext{d}x\, ext{d}y=int_{ heta_1}^{ heta_2} ext{d} hetaint_{0}^{r_( heta)}r( heta)r\, ext{d}r ag{12}]
2. 三重积分
2.1 累次积分
完全类似二重积分，可以把空间物体的质量定义为三重积分（式（13））。并且容易证明，定义在立方体的三重积分可以转化为低次积分（式（14））。对定义在不规则封闭区域中的三重积分，如果它的表面对任何平行于(z)轴的直线最多有两个交点，则可使用式（15）左，如果它与任何垂直于(z)轴的平面相交成封闭图形，则可使用式（15）右。
[iiint_{Omega}f(x,y,z)\, ext{d} ho=iiint_{Omega}f(x,y,z)\, ext{d}x\, ext{d}y\, ext{d}z ag{13}]
[iiint_{Omega}f(x,y,z)\, ext{d}x\, ext{d}y\, ext{d}z=int_e^f ext{d}zint_c^d ext{d}yint_a^bf(x,y,z)\, ext{d}x ag{14}]
[iint_{D} ext{d}x\, ext{d}yint_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\, ext{d}z;quadint_{z_1}^{z_2} ext{d}ziint_{D(z)}f(x,y,z)\, ext{d}x\, ext{d}y ag{15}]
2.2 换元法
三重积分可以同样使用换元法，与二重积分的公式类似，这里就不列举了。三维空间中最常用的换元当属式（16）中的球面坐标变换，其中(varphi)表示点向量和(z)轴正方向的夹角，( heta)表示点向量在(xy)轴平面上的投影与(x)轴正方向的夹角。转化为球面坐标的积分后，一般按(r,varphi, heta)的顺序求积分，当然还可以用式（17）的广义球面坐标变换。
[egin{cases}x=rsin{varphi}cos{ heta}\y=rsin{varphi}sin{ heta}\z=rcos{varphi}end{cases},quad J=dfrac{partial(x,y,z)}{partial(r,varphi, heta)}=r^2sin{ heta} ag{16}]
[egin{cases}x=arsin{varphi}cos{ heta}\y=brsin{varphi}sin{ heta}\z=crcos{varphi}end{cases},quad J=dfrac{partial(x,y,z)}{partial(r,varphi, heta)}=abc\,r^2sin{ heta} ag{17}]
除了重积分，多元积分的内容主要是关于向量的积分，这将在另一门课程《向量分析》中展开描述。