抽象代数不是为了抽象而抽象，它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算，而且它们是相互关联的，这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看，运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质，你将会在后面的讨论中看到这一点。
1. 环
1.1 环和子环
具有两个运算的系统比较多，性质也各有不同，我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统，以它们为参考可以得到比较有用的系统。矩阵（线性空间）为双运算系统提供了丰富的可能性，教材中的例子也避不开它，但你也只需知道一些基本概念就行，线性代数今后将作为专门的课题讨论。
考察上面提到的常见系统，它们的加法群都是交换群，故假设新的抽象系统的一个运算也为交换群。为方便起见可直接称其为加群，加群的单位元称为零元素（记作(0)）。加群的所有表达式都可以写为加减法，加法的“幂”可以用倍数表示。你可以证明，以下常见的变形都是成立的，今后可以直接使用。
[a+0=a;quad a-a=0;quad -(-a)=a;quad -(a+b)=-a-b;quad -(a-b)=b-a ag{1}]
[-(na)=(-n)a;quad ma+na=(m+n)a;quad m(na)=(mn)a;quad n(a+b)=na+nb ag{2}]
以上系统的中的乘法群就比较弱了，但至少组合律是成立的，所以它是一个半群。如果我们定义的系统只有两个孤立的运算，也大可不必做这样的研究。研究常见的系统，可以发现乘法和加法满足以下分配律。至此我们就可以定义新的系统了，一个运算为加法群，另一个运算为半群，且它们满足分配率，这样的系统称为环（ring），一般用字母(R)表示，乘法可交换的环叫交换环。乘法如果有单位元，按照惯例一般记作(1)。
[a(b+c)=ab+bc;quad (a+b)c=ac+bc ag{3}]
如果你仔细观察分配率，可以发现其中有同态映射的影子，这其实也是还有着各种性质的主要原因。现在来看看加法在结合了乘法后，都有哪些性质，我们以前熟悉的表达式变形还能不能成立。首先对于特殊的(0)元素，因为(0a+0a=(0+0)a)，容易有(0a=0)，零元素在乘法下将所有元素归为(0)。再来看((-a)b)，因为((-a)b+ab=(-a+a)b=0)，故有((-a)b=-ab)。这些都是以前就熟悉的表达式，它们在环里都是成立的。下面是更多的常用表达式，证明比较容易。
[0a=a0=0;quad (-a)b=a(-b)=-ab;quad c(a-b)=ca-cb ag{4}]
[sum{a_i}sum{b_j}=sumsum{a_ib_j};quad (ma)(nb)=(mn)(ab) ag{5}]
很自然地，可以定义子环，它是进一步研究环结构的基本定义。子环除了是加群的子群外，还需对乘法封闭，这些比较容易证明。和单运算系统一样，可以定义环同构，如果两个环(R_1,R_2)之间存在一一映射(f)，且映射保持运算（公式（6）），则称(R_1,R_2)同构（(R_1cong R_2)）。
[f(a+b)=f(a)+f(b);quad f(ab)=f(a)f(b) ag{6}]
环中也可以对单位元和逆进行讨论，由于两个运算的相互作用，往往会表现出有趣的性质，但证明中也需要巧妙的构造。比如考察有单位元的环(R)，如果元素(a)有至少两个右逆元，记逆元的集合为({a_k})。考察集合({a_ka-1+a_1})，容易证明它们都是右逆元且互不相等，从而这两个集合存在一一映射。如果集合是有限的，则存在(a_xa-1+a_1=a_1)，化简后两边同时乘以(a_y)得(a_x=a_y)，从而所有右逆元相等。这就导致了矛盾，所以右逆元必然有无穷多个，而有限环最多只能有一个右逆元，这个结论称为Kaplanskey定理。
• 每个元素都是幂等元(a^2=a)的环叫布尔环，求证(a=-a)且(ab=ba)；
• 环(R)有单位元，求证加法交换律可由定义的其它部分证明；（提示：分配率的不交换性）
• 求证：唯一的左（右）单位元必定是单位元；（提示：构造(ae_l-a+e_l)）
• 如果(1+ab)可逆，则(1+ba)也可逆；（提示：构造）
• 求证：交换环中所有满足(a^n=0)的元素组成子环。
1.2 零因子
零元素在环中有着特殊的地位，它如同黑洞一般讲所有元素吸入，使得环的局部呈现坍塌。反之，环的整体结构还是得靠那些能逃脱(0)的“引力”的元素撑起来。为此定义(ab=0)中的(a,b e 0)分别为环的左、右零因子，不是零因子的元素叫正则元，正则元就是我们要找的“支撑元素”。无零因子是对乘法的一个约束，它本质上是要求乘法封闭。有一类特殊的零因子满足(a^n=0)，它们被称为幂零元。
显然有无左零因子和有无右零因子是等价的，这样的环也称为无零因子环，交换的无零因子环叫整环（domain）（有些教材还要求含单位元，这里不采用）。对无零因子环，若有(ab=ac)或(ba=ca)，由分配率显然有(b=c)，即消去律成立。反之若左（右）消去律成立，也容易得到环无零因子，由此消去律和无零因子是两个等价概念。
若对于无零因子环有左单位元(e_l)，由于((ae_l-a)e_l=0)，则有(ae_l=a)，故环有单位元，用同样的方法可证其左逆元也是右逆元。这个例子表现了零因子的概念在建立等式上的丰富作用，善于构造巧妙的表达式，可以得到很多有用的结论。有些场景下可能不存在单位元，对(ab=a)不能急于消去(a)，而是要迂回使用消去律，这个方法经常用到。比如若无零因子环有幂等元(x^2=x)，不能直接消去得到(x=e)，而是先乘上任意元素(ax^2=ax)，然后再消去(x)证明(x)就是单位元。考虑以下问题：
• 若(Sleqslant R)，但它们的单位元不同，求证(S)的单位元是(R)的零因子；
• 含有至少(3)个元素的布尔环不是整环；
• 若有限环中有(ab=1)，则(ba=1)。（提示：参考Kaplanskey定理的证明）
1.3 特征
阶是群的重要参数，现在来看看加法群中元素的阶，如果其中有最大值(n)，由于加法群是交换群，用反证法可知所有元素的阶都是(n)的因子。加法群的阶在环中还有更多的性质，我们将最大的阶称为环的特征，记作( ext{Char}:R)，当然特征也可以是无穷。如果乘法有单位元且阶为(n)，则有(na=(n1)a=0)，故(1)的阶即是环的特征。特征为(p)，且恒有(a^p=a)的环叫(p)-环，可以证明(p)-环都是循环环（较复杂）。
环中的乘法运算有个很有用的性质，就是倍数可以任意移动组合（公式（5）），这个特征结合无零因子可以得到很好的性质。先假设环中有一个阶为(n)的元素(a)，那么根据((na)b=a(nb)=0)，容易知道(b)的阶为(n)的因子，并进而得知环中所有元素的阶都是(n)。再假设(n)不是素数，它有分解(n=xy)，则有((na)a=(xa)(ya)=0)，从而必有(xa=0)或(ya=0)，这与(a)的阶为(n)矛盾。综合以上分析可知，无零因子环元素的阶要么都是无穷，要么都是某个素数(p)，有限无零因子环的阶当然都是(p)。
• 若交换环的特征为(p)，则有((sum{a_k})^p=sum{a_k^p})；
• 求证：(p)-环没有幂零元。
2. 除环和域
2.1 除环和域
有些环在乘法上有更多的性质，有必要专门讨论它们。对于那些有单位元的环，其中存在逆元的元素一般称为单位（unit）。容易证明环中的全体单位在乘法下构成群，它被称为单位群。对于有限环，总有(a^m=a^n(m>ngeqslant 1))成立，如果(a)是非零因子，则有(a^{m-n+1}=a)。继而对任意(x)有(a^{m-n}x=x)，即得到(a^{m-n})为单位元，而(a^{m-n-1})是(a)的逆元。总结以上就得到，有限环的非零因子是单位。
除零因子外，每个元素都是单位的环称为除环或体（skew field），交换除环也叫域（field）。容易证明除环没有零因子，由此可知在去除零元素之后，乘法仍然是封闭的，它们能够形成一个群。数系是除环和域的典型代表，整数环有单位({-1,1})，有理数、实数、复数都是域的例子。由于域的乘法可交换，可以定义(ab^{-1}=b^{-1}a)为分式(dfrac{a}{b})，你可以证明一般方式的加法、乘法、除法规则在域里也是成立的。
• 若环(R)中的任何非零元素(a)，都有唯一的(bin R)使得(aba=a)，求证(R)为除环。（提示：先证无零因子）
你可能有一个疑问，存不存在除环呢？乘法有单位元和逆元，却不可交换的环存在吗？还记得第一章里介绍的四元群吗，由它们作为“超复数”的单位形成四元数({a+bi+cj+dk})，可以证明它就是非交换的除环。这是历史上首次发现的非交换除环，由哈密尔顿（Hamilton）首先发现，因此也叫哈密尔顿四元数除环。后面的课程中，还会介绍到它作为数满足的一般性质，这在历史上是一个重大的发现。对于有限除环，魏德邦（Wedderbum）证明了它的必定是交换的，故必然是域。由前面的讨论我们容易有，有限无零因子环必定是除环，再由魏德邦定理知它又必定是域。
Hamilton（1805 - 1865）
之前群的定义中，我们讨论了一次方程有解与群的等价性。在除环里也有类似的结论，而且所需条件更弱。首先除环中一次方程（7）都有解，反之若环中满足方程（7）其中之一有解，下面来看它是否是除环。首先要证无零因子，即对任意(a,b e 0)，证明(ab e 0)。可以构造一个含有(ab)而值为(b)（或(a)）的表达式，利用一次方程的有解性可有(bc=d)和(ad=b)，从而(abc=ad=b)，则环无零因子。接下来找单位元，设(ax=a)的解为(e_r)，利用消去律（见上面的讨论）可知(e_r)为右单位元。再由(ax=e_r)知任何元素(a)有右逆元，从而乘法（除去零元）是一个群，该环为除环。综合以上讨论，环为除环的充要条件是一次方程（7）之一恒有解（(a e 0)）。
[ax=b,quad ya=b ag{7}]
2.2 商域
域的结构是最常见的，它的结论比较丰富，我们希望能把一个环放在域中，以便获得更多的结论。显然不是所有的环都可以扩展为域，它至少要满足无零因子和可交换。自然地我们想问，是不是该先考虑无零因子的不可交换环扩展为除环，可惜这个结论已经有人举出反例了，比较复杂，这里仅当结论。那么无零因子可交换环（整环）是不是都能扩展为域呢？这里就来讨论这个问题。
要想成为域，需要补充单位元和逆元，但硬要把它们定义出来还是很困难的。回顾一下我们在实数系统介绍的扩展方法，可以用数对来定义扩展的数系，再将原数系嵌入到新数系中。添加单位元和逆元本质上需要做除法，和整数扩展为有理数的过程完全一样，定义元素对的集合({(a,b)}(a,bin R, a e 0))。当(ad=bc)时，定义相等((a,b)=(c,d))，直观上讲其实就是定义了分数(dfrac{b}{a}=dfrac{d}{c})。
相等关系下的等价类正是我们期望的系统，首先证明新系统的如下加法和乘法定义是良性的，即等价类中代表元的选取不影响结果。然后证明，新系统在这个运算定义下形成一个域，最后通过映射(a o dfrac{ad}{d})将环嵌入到这个域中。这就证明了无零交换环总可以扩展为域，这个域也叫环的分式域或商域。
[dfrac{b}{a}+dfrac{d}{c}=dfrac{bc+ad}{ac},quad dfrac{b}{a}cdotdfrac{d}{c}=dfrac{bd}{ac} ag{8}]
3. 特殊环
3.1 循环环
循环群是最简单的群，那这里先分析一下加法群是循环群的环，它称为循环环，设加法群的生成元为(a)。回顾一下循环群，若它的阶为无穷，它与整数群同构且同时(-a)也是生成元，若阶为有限(n)，它与(n)的剩余类群同构，且任何与(n)互素的剩余类都是生成元。显然整数集合(Z)和任何剩余类集合(Z_n)在加法和乘法定义下构成环，分别称为整数环和模(n)剩余类环，下面就来分析一下循环环和它们之间的关系。
先来看循环环，它的所有元素是({cdots,-2a,-a,0,a,2a,cdots})或(0,a,2a,cdots,(n-1)a)。它们在加法群下，每一个不同的阶仅有一个同构的循环群，但这一点在环里却是不成立的。现在来考虑循环环中的乘法，首先对任意两个元素有((ma)(na)=(na)(ma)=(mn)a^2)，故循环环必定是交换环。其次由乘法的封闭性，一定有(a^2=ka)，而反过来若在一个循环群上定义乘法((ma)(na)=(mnk)a)，它也一定构成环。由此可知，(k)的任何取值都等价于一个环结构，当然你要清楚，不同的(k)对应的环是有可能同构的。
对于无穷阶环，加法生成元只有(pm a)，当(|k|)取不同值时，对应的环一定互不同构，而容易证明(k)和(-k)对应的环是同构的。对于(n)阶环，(k)只能取(n)个值，而这些值对应的环还有可能是同构的。使用初等数论的一些简单推导，容易证明可以通过选取适当的生成元，使得(k)为(n)的因子。从而(n)的每个因子代表了一类同构的环，同不同因子对应的环是不同构的。
这样循环环的所有同构环就清楚了，每一个非负整数对应一个无穷环，每一个因子对应一个(n)阶环。最后来看看整数环和剩余类环，显然它们的生成元满足(k=1)，而它们的子环满足(k>1)。(Z)的所有子环与正整数一一对应，(Z_n)的所有子环与(n)的正因子一一对应，而它们包含了除(k=0)之外的所有循环环。换句话说除(k=0)之外，每个循环环与一个(Z)或(Z_n)的子环同构。
现在做一些常规讨论，(Z)只有可逆元(pm 1)，所有元素为非零因子，(Z_n)中与(n)互素的都是可逆元，而其它都是零因子。特别地，(Z_p)的每个元素可逆，故它是一个域，而且还是一个(p)-环。由于(Z)和(Z_n)都有单位元，单位元的阶就是它们特征，所以(Z)的特征为无穷，而( ext{Char}: Z_n=n)。
3.2 多项式环
将环向多维空间扩展，是得到更多复杂环的常用方法，扩展的形式也是多种多样的。矩阵环可以得到非常丰富的环结构，简单一点的还有在线性空间的简单拓展，比如无理数环({x+ysqrt{2}mid x,yinBbb{Q}})和复数环({x+yimid x,yinBbb{R}})，特别地({x+yimid x,yinBbb{Z}})叫做高斯整环。
线性扩展中最一般的当属多项式，多项式一直是代数中的重要概念，它是一个基本的代数对象，现在从环的角度来分析一下多项式系统。先从最常见的一元多项式说起，它是具有以下形式的表达式，其中(a_k)是环(R)的元素，(a_kx^k)称为(k)次项，(a_k)称为(k)次项系数，系数非零的最高次数称为多项式的次数。
[f(x)=a_nx^n+cdots+a_1x+a_0 ag{9}]
大家最初是在域的环境下认识多项式的，这里的限制要求重新定义对多项式的一般认识。首先多项式中的加号和(a_kx^k)中的“乘号”目前仅是一个记号，两个多项式相等的充要条件是每一项的系数相等，而不是最终的值相等。现在需要重新定义运算，两个次数相同的项(a_kx^k,b_kx^k)之和为((a_k+b_k)x^k)，而两项(a_ix^i,b_jx^j)之积为(a_ib_jx^{i+j})，两个多项式相乘时按分配率展开。以上定义对域上的环是不需要定义的，但在环下必须有这样的精确说明。
容易证明在环(R)上的多项式集合在以上加法和乘法定义下构成环，一般记作(R[x])。显然(R)是(R[x])的子环，故对(R[x])成立的一般对(R)也一定成立，但反过来的结论一般要证明。有一些比较显然的结论，比如如果(R)有单位元则(R[x])也有单位元，如果(R)可交换则(R[x])也可交换，如果(R)为整环则(R[x])也是整环。现在来看看(R[x])的零因子有什么性质，假设(f(x)g(x)=0)，设(g(x))的首项系数为(g_n)，则(f(x)g_n)的次数比(f(x))小。如果再假设环可交换，则有((g_nf(x))g(x)=0)，用归纳法可知存在(cin R)，使得(cg(x)=0)。总结以上讨论有，交换环(R[x])的元素(g(x))是零因子的充要条件是，存在(cg(x)=0)。
整数环的分解性（算术基本定理）是初等数论的重要内容，在一般环中仍然可以进行这样的讨论，后面会给出专题。除了多项式环，还有一个重要的高斯整数，也是重要的环。多项式要扩展成域，必定引入有理分式域。