1. 离散时间傅里叶变换
1.1 离散LIT系统
前面三篇专注于讨论连续信号，建立了比较完备的连续LIT系统的理论。在工业应用、尤其是计算机科学中，数据、信号都是数字化的，信号在时间上甚至数值上都是离散的。离散时间的信号（简称离散信号），可能原本就是离散的（比如统计数据），也有可能是连续信号的采样值。在历史上，离散信号与连续信号的理论是并行发展的，成熟之后才汇总到了一起。总而言之，离散信号更便于存储和处理，有着更广泛的使用领域。
本篇并行于前面的连续信号理论，集中阐述离散信号的对应结论。那些浅显无差异的概念或结论，这里会忽略或一带而过，而把更多的笔墨放在有本质差异的部分。一个离散信号(x[n])是指离散时间序列({x[i], iinBbb{Z}})，虽然也可以用数轴表示(x[n])，但一般我们并不关心非整数点的函数值。周期信号的周期(N)也是整数，后面将会看到，这是造成与连续系统差异的根本原因。离散LIT系统的定义完全类似连续LTI系统，以及因果性、无记忆性、稳定性等都可以照搬过来。
解析离散LIT时，同样可以先把信号做线性拆解（式（1）），其中(delta[n])仅在(n=0)时有非零值(1)，它被称为单位脉冲函数。然后假定(delta[n])的系统响应为(h[n])，它称为单位脉冲响应，相比单位冲激响应，(h[n])的值是真正的响应值。最后用累加的方法，便知道信号的系统输出为式（2）。整个过程只有离散值的累加，不再有奇异函数和积分，理解起来自然顺畅。甚至微分、积分的概念也变成了简单的差分、求和，比如(delta[n])的求和函数(u[n])如图，它被叫做单位阶跃函数，反过来(delta[n])是(u[n])的一次差分函数。
[x[n]=sum_{kinBbb{Z}}x[k]delta[n-k] ag{1}]
[x[n] o y[n]=x[n]*h[n]=sum_{kinBbb{Z}}x[k]h[n-k] ag{2}]
式（2）同时还定义了离散信号的卷积和，它同样具有交换律、结合律、分配率，且证明更加直白。卷积和的性质，同样也为系统的串联、级联提供了方便的工具。另外显然，因果系统满足式（3）左，有限持续的因果系统也叫有限脉冲响应（FIR），否则叫无限脉冲响应（IIR）。稳定系统的充要条件是绝对可和（式（3）右），信号趋于0的速度关系到系统的响应速度。
[y[n]=sum_{k=0}^{infty}h[k]x[n-k];;;sum_{kinBbb{Z}}|h[k]|<infty ag{3}]
1.2 傅里叶变换
离散周期信号(x[n])可以看成是连续周期信号(x(t))的采样，甚至可以基于(x(t))的FS讨论(x[n])的FS，但讨论中无法摆脱(x(t))本身，难以生成有用的结论。故这里的周期离散信号(x[n])要求序列自身的周期性，即周期为整数(N)，并以此重新建立分解、变换的理论。先定义周期为(N)的信号的基波频率(omega_0=2pi/N)，当然它本质上还是角速度。然后考察所有基波({E_k[n]=e^{jkomega_0n}})，显然有(E_{k+mN}[n]=E_k[n])，故实质上只有(N)个不同的基波，以后(k)的取值仅限于(langle N angle={0,1,dots,N-1})。
为了进一步讨论LIT的性质，这里同样要定义特征函数和特征值，式（4）表明离散指数函数(z^n)就是特征函数。后面将会看到，离散系统的系统函数以(z=e^s)为主要参数，而不同于连续系统中以(s)为主要参数，故直接将式子写成关于(z)的函数。当然在傅里叶变换中，为了突出频谱系数，暂时还是写成(e^{jomega n})。离散时间傅里叶级数（DTFS）就是把周期为(N)的信号分解为特征函数系({e^{jkomega_0n}})的线性和（式（5）左），然后利用特征函数在周期内的“正交性”（乘积和为0），求得具体的频谱系数(a_k)（式（5）右）。离散信号的值都是有限的，不存在也不需要定义奇异函数，也不存在不连续点和无穷抖动。所以离散信号的DTFS总是存在的，且逆变换不存在误差，这使得理论简单而广泛有效。
[z^n o H(z)z^n;;;H(z)=sum_{kinBbb{Z}}h[k]z^{-k} ag{4}]
[x[n]=sum_{kinlangle N angle}a_ke^{jkomega_0n};;;a_k=dfrac{1}{N}sum_{ninlangle N angle}x[n]e^{-jkomega_0n} ag{5}]
类似于FT推导，对一般离散信号(x[n])，将其长为(N)的截断扩展为周期信号( ilde{x}[n])，并观察它的FS。当(N oinfty)时，({komega_0})变成连续变量(omega)，取值范围([0,2pi])；(dfrac{1}{N})变成微分(dfrac{1}{2pi}\, ext{d}omega)。最终便有了离散信号的离散时间傅里叶变换（DTFT，式（6）），其中频谱系数(X(e^{jomega}))可视为周期为(2pi)的函数，单位脉冲响应的频谱系数也叫系统函数。
[x[n]=dfrac{1}{2pi}int_{2pi}X(e^{jomega})e^{jomega n}\, ext{d}omega;;;X(e^{jomega})=sum_{kinBbb{Z}}x[n]e^{-jomega n} ag{6}]
扩展到无穷领域，自然就要考虑其收敛性，不难得出“可绝对求和”是FT收敛的一个充分条件。当然，FT收敛和分解式存在还是两个概念，比如离散周期信号的FS就可以修改成FT的形式。FS系数(a_k)转化成FT中的“密度”应该是(a_kdelta(0))，也就是说在基波频率(komega_0)上的频谱应当是(2pi a_kdelta(0))，综合便有离散周期信号的FT（式（7））。
[x[n];overset{FS}{leftrightarrow};a_k;;Rightarrow;;x[n];overset{F}{leftrightarrow};sum_{kinlangle N angle}2pi a_kdelta(omega-komega_0) ag{7}]
1.3 z变换
接下来就是把离散时间的傅里叶变换扩展成拉普拉斯变换，即要将基波扩展到一般的指数函数(z^n)，以下记(z=re^{jomega})。对于给定的(r)，将(r^n)乘到式（6）左，便得到(x[n]r^n)在({(re^{jomega})^n})下的分解。整理后不难得到扩展后的变换式（8），它被称为z变换，式（9）是它和FT的关系。
[x[n]=dfrac{1}{2pi}int_{2pi}X(z)z^n\, ext{d}omega,;X(z)=sum_{kinBbb{Z}}x[n]z^{-n} ag{8}]
[x[n];overset{L}{leftrightarrow};X(re^{jomega});;Rightarrow;;x[n]r^{-n};overset{Z}{leftrightarrow};X(e^{jomega}) ag{9}]
z变换还是在复平面内讨论收敛域ROC，所谓收敛指在固定的(r)下所有(X(re^{jomega}))都收敛，所以收敛域是以原点为圆心的同心圆组成的，或者可以简单地表示为(r)的取值范围。和拉普拉斯变换的差异是由变量的选取（(z=e^s)）、以及(omega)的范围导致的，其实并无本质不同，完全可以把LT的特性平移过来。z变换的单位圆对应LT的虚轴，圆内（去除原点）、圆外的同心圆分别对应原点左边、右边的虚轴平行线。
以(rin(0,+infty))或去原点的复平面为整个定义域，可知有限持续信号的ROC在整个定义域上；右边信号的ROC是某个同心圆以外的区域；左边信号的ROC是某个同心圆以内（不含原点）的区域；一般双边信号的ROC则是某个环状区域。当然以上单位圆和环的边界都可能是(0)或(infty)，边界本身也可能在ROC内。最后，脉冲响应的z变换还被称为系统函数，因果系统（右边信号）的ROC是某个同心圆外部，稳定系统的ROC一定包含单位圆。
2. 系统函数的性质
2.1 z变换的性质
z变换和拉普拉斯变换格式相近，大部分性质也都很雷同，这里简单罗列这些平行的性质。关于性质的ROC可自行讨论，我想强调的是，即便不在ROC内，这些性质在那些收敛的(z)上仍然是成立的。另外不难发现，离散信号的傅里叶变换和连续周期信号的傅里叶级数，具有很好的对偶性，据此可以简化很多性质的证明。
式（10~12）分别是线性、时移、z域平移、共轭的性质，其中实信号满足式（12）右。对离散信号缩放的讨论稍微困难一点，这里仅讨论整倍延展和时序翻转两种情况。把信号拉伸(m)倍并设新增点（非(m)的整数倍）的值为(0)，记新信号为(x_m[n])，带入(X(z))的公式便有式（13）左成立。它表明频域横向压缩了(m)倍，原本的基波（时域）被拉升后，还有新的基波填入，已不同于原来的分解。时序逆转不仅带来频域的正负翻转，也会带来z域的单位圆内外翻转。
[ax[n]+by[n];overset{Z}{leftrightarrow};aX(z)+bY(z) ag{10}]
[x[n-n_0];overset{Z}{leftrightarrow}; z^{-n_0}X(z);;z_0^nx[n];overset{Z}{leftrightarrow};X(dfrac{z}{z_0}) ag{11}]
[x^*[n];overset{Z}{leftrightarrow};X^*(z^*);;;X(z)=X^*(z^*) ag{12}]
[x_m[n];overset{Z}{leftrightarrow};X(z^m);;;x[-n];overset{Z}{leftrightarrow};X(z^{-1}) ag{13}]
信号的差分性质直接根据时移和线性便得到（式（14）），信号的累加则是差分的逆运算，固有式（15）。对式（6）右两边求微分，便有(z)域的微分性质（式（16））。直接观察(X(z))的单项(x[n]z^{-n})，对任何(n>0)，当(z oinfty)时总有项的极限为0（且是一致的）。所以对初始松弛的信号有式（17）的初值定理，但它和LT中的初值定理并无原理的相通性，也没有类似的终值定理。最后就是那个不意外的结果，把式（18）左的卷积和看成信号(x_1[n])在单位脉冲为(x_2[n])的系统下的输出，根据特征函数的性质应当有式（18）右成立。
[x[n]-x[n-1];overset{Z}{leftrightarrow};(1-z^{-1})X(z) ag{14}]
[sum_{k=-infty}^nx[k];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{1}{1-z^{-1}}X(z) ag{15}]
[nx[n];overset{Z}{leftrightarrow};-zdfrac{ ext{d}X(z)}{ ext{d}z} ag{16}]
[x[k]=0,;k<0;;Rightarrow;;x[0]=lim_{z oinfty}X(z) ag{17}]
[x_1[n]*x_2[n];overset{Z}{leftrightarrow};X_1(z)X_2(z) ag{18}]
2.2 傅里叶变换的性质
做为z变换的特殊情况，傅里叶变换也有一些特有的性质。比如实偶信号满足(X(e^{-jomega})=X^*(e^{-jomega}))，既有它的频谱系数为实数；同样还有实奇信号的频谱系数为纯虚数。再比如积分性质中(z=1)时，需单独讨论密度系数(pi X(1)delta(0))（类似连续情况）。以及利用离散信号FT与连续周期信号FS的对偶性，很快能得到式（19）的能量谱公式（帕斯瓦尔定理），以及式（20）的乘法公式，注意右边为周期卷积。
[sum_{ninBbb{Z}}|x[n]|^2=dfrac{1}{2pi}int_{2pi}|X(e^{jomega})|^2\, ext{d}omega ag{19}]
[x_1[n]x_2[n];overset{F}{leftrightarrow};dfrac{1}{2pi}X_1(jomega)*X_2(jomega) ag{20}]
离散时间周期傅里叶级数是FT的原型，几乎所有的性质都可以平移过来，只需要把(X(e^{jomega}))换成(a_k)、(2pi)换成(N)即可。典型的有周期卷积和与乘积的对偶式（21），以及式（22）帕斯瓦尔定理。
[x[n]*y[n];overset{F}{leftrightarrow};Na_kb_k;;;x[n]y[n];overset{F}{leftrightarrow};a[n]*b[k] ag{21}]
[sum_{ninlangle N angle}|x[n]|^2=Nsum_{kinlangle N angle}|a_k|^2 ag{22}]
2.3 常用系统函数
先来看单位脉冲的z变换式（23）左，它仍然是所有基波的无相移叠加，单位脉冲的时移即是(z)的多项式或简单分式（式（23）右）。(delta[n])是(u[n])的一阶差分，从而有式（24）左成立，下移(1)后仍然有式（24）右成立，只是ROC相反了。式（24）的格式有点不同于LT，我们不要“简化”它，而是继续遵循其自身的格式特点，以后把系统函数看成(z^{-1})的分式。
[delta[n];overset{Z}{leftrightarrow};1;;;delta[n-k];overset{Z}{leftrightarrow};z^{-k} ag{23}]
[u[n];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{1}{1-z^{-1}},;(r>1);;;-u[-n-1];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{1}{1-z^{-1}},;(r<1) ag{24}]
接下来把z域的平移性质用在式（24）上，可有带参数的一次式（25）左。利用求和性质或(z)域微分（式（25）右），可得到更高阶的一次式，它们也都有ROC为反向的表达式。式（25）左的(a)也可以为复数，对实数域内不能分解的二次项，利用复根便可有式（26~27）。至此，任何(z)的实数域分式都可以分解为不同一次项和二次项之和，它代表的系统也就拆分成了多个简单系统之和。当然，分式分解比LT要麻烦一点，高阶分式处理起来也不容易。
[a^nu[n];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{1}{1-az^{-1}};;;nx[n];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{z^{-1}}{1-z^{-1}} ag{25}]
[cosomega ncdot u[n];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{1-cosomegacdot z^{-1}}{1-2cosomegacdot z^{-1}+z^{-2}} ag{26}]
[sinomega ncdot u[n];overset{Z}{leftrightarrow};dfrac{sinomegacdot z^{-1}}{1-2cosomegacdot z^{-1}+z^{-2}} ag{27}]