如何高效的找到所有总和为 sn 的连续正整数数列。

例如 sn = 100 时，总和为100 的连续正整数数列有

100
18 19 20 21 22
9 10 11 12 13 14 15 16

对于这种算法的设计，我们最容易想到的就是从 1 到 sn 循环遍历所有的数，对于每个数再循环计算是否以这个数为起点总和正好是sn。这种算法的时间复杂度大概是

O(n*log2n), 也就是说如果这样计算，当 sn = 100万时，大概需要循环 2000万次左右。这样做效率自然是比较低的。那么我们有没有比上述方法更高效的方法呢？答案是肯定的。

首先我们看等差数列求和的公式：

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2

从这个公式我们不难看出当 Sn 和 n 固定时求a1 是一个线性函数：

a1 = (Sn – n(n-1)/2) / n

有了这个函数，优化这个算法就很简单了，我们只要把 n 从 1 开始遍历，一直遍历到 (Sn – n(n-1)/2) < n 为止，就可以找到所有的符合条件的连续数列了，这个算法的算法复杂度为 2N 的平方根，也就是说当 Sn = 100 万时，只需要循环1414次就可以得到所有的数列。

这个算法 sn = 100 万时，循环次数是 12970034 次，比我这个算法效率上要低将近1万倍。

下面给出我的算法代码

        static void ListSequence(int sn)

            //忽略 sn 不是正整数的情况

            if (sn <= 0)

                return;

            int n = 1; //n 从1 开始遍历

            int m = sn - n * (n - 1) / 2; //m 为 Sn – n(n-1)/2

            while (m >= n) //当m < n 时即 Sn – n(n-1)/2 < n 时退出循环

                if (m % n == 0) //如果m 可以被 n 整除，则存在连续n个正整数序列总和为sn。

                    int a1 = m / n; //求a1

                    //打印符合条件的连续数列

                    for (int i = a1; i < a1 + n; i++)

                        Console.Write(string.Format("{0} ", i));

                    Console.WriteLine();

                n++; //n 加1

                m = sn - n * (n - 1) / 2; //下一个 m

            Console.WriteLine("循环次数:{0}", n);

Sn = 100 时，运行结果：

100
18 19 20 21 22
9 10 11 12 13 14 15 16
循环次数:14

下面给出 Sn 从 10 开始到 1000万时的循环次数。