模拟退火
概述
简单说，模拟退火是一种随机化算法，用于求函数的极值。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数时，我们常使用模拟退火求解。
它与爬山算法最大的不同是，在寻找到一个局部最优解时，赋予了它一个跳出去的概率，也就有更大的机会能找到全局最优解。
在 OI 领域，对应的，每次随机出一个新解，如果这个解更优，则接受它，否则以一个与温度和与最优解的差相关的概率接受它。
相关参数
初始温度：(T_0)
结束温度：(T_s)
降温系数：(Delta t)
这样每次温度就是上次的温度乘上(Delta t)
能量差：(Delta E=f(t_{new})-f(t_{now}))，即新点的能量减去当前的能量（能量也就是函数值）
接受概率：(P(Delta E)=e^{frac{-Delta E}{t}}),t为当前温度，这样保证当能量差小于0时，概率P是大于1的，也就是必然接受，当能量差大于0时，能量差越大越不容易接受，t越大越容易接受（这里能量差需要具体问题具体分析，因为是退火，所以能量是越小越好）
模板
AcWing 3167. 星星还是树
二维平面有若干点,寻找一个点到所有点的距离之和最短，该点可以选择在平面中的任意位置，甚至与这 n 个点的位置重合。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pdd pair<double, double>
int const N = 100 + 5;
vector<pdd> a;
const double inf = 2e6;
double ans = inf;
double getd(pdd x, pdd y) {
double dx = x.first - y.first;
double dy = x.second - y.second;
return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
double getsum(pdd x) { //f函数
double re = 0;
for (auto& p : a) {
re += getd(x, p);
}
ans = min(ans, re);
return re;
}
double rand(double l, double r) { //计算一个l到r的随机值
return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l;
}
void sa() {
pdd p(rand(0, 1e4), rand(0, 1e4));
for (double t = 1e4; t > 1e-4; t *= 0.99) {
pdd np(rand(p.first - t, p.first + t),
rand(p.second - t, p.second + t));//随机一个新的点
double dt = getsum(np) - getsum(p); //计算能量差
if (exp(-dt / t) > rand(0, 1)) {
p = np;
}
}
}
int main() {
int n;
cin >> n;
srand((unsigned)time(NULL));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
double x, y;
cin >> x >> y;
a.push_back({x, y});
}
for (int i = 0; i < 100; ++i) sa();
cout << round(ans) << "
";
}
技巧
1.由于较为玄学，所以需要多跑几次模拟退火
2.更改随机种子
3.卡时间，例如小于0.8秒就一直跑模拟退火，充分利用测评时间
4.超时说明降温系数太大了，降温过程太慢，方法：可以把0.999改为0.99