题意：给一个序列A，要求构造序列B，使得 Bi <= Ai, gcd(Bi) > 1, 1 <= i <= n, 输出构造的方法数。
析：首先这个题直接暴力是不可能解决的，可以先找出最大值mmax和最小值mmin，然后枚举每个gcd，也就是最大公约数d，那么其他数就应该是d 2*d 3*d 4*d ...。如果把每个数的个数求出来。那么答案就是每一种 d 的数量的和，每一种的数量就是 a1 * a2 * a3 ... an，其中是 ai 是 第 i 个数所能取到 d 的数量。
这样做复杂度不但很高，而且还有重复的数，比如当d = 2时，假设所以选的B都是 6，6，6，6，....，6,那么当 d = 3 时或者是 d = 6时，同样还可能选择6，6，6，6，...，6，所以这样的算重了，需要把重复的删除，这里就用到莫比乌斯函数，通过它可以直接得到当d = x时是加上还是减去。
就算是去重了，时间复杂度还是很高，要再次进行优化，对于每个 d，我们可以直接求每个数所能选的最大数数量，并且可能通过区间直接进行求取，比如 t = Ai / d，那么它的范围就是 [t*d, t*d+d-1]，这样就能对于每个区间进行处理，把复杂度降到 n*log(n)*log(n)，因为还要用一次快速幂。
代码如下：
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <list>
#include <assert.h>
#define debug() puts("++++");
#define gcd(a, b) __gcd(a, b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ms(a,b) memset(a, b, sizeof a)
#define sz size()
#define pu push_up
#define pd push_down
#define FOR(x,n) for(int i = (x); i < (n); ++i)
#define freopenr freopen("in.txt", "r", stdin)
#define freopenw freopen("out.txt", "w", stdout)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> P;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double inf = 1e20;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int maxn = 1e5 + 5;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int dr[] = {-1, 0, 1, 0};
const int dc[] = {0, 1, 0, -1};
const char *de[] = {"0000", "0001", "0010", "0011", "0100", "0101", "0110", "0111", "1000", "1001", "1010", "1011", "1100", "1101", "1110", "1111"};
int n, m;
const int mon[] = {0, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
const int monn[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};
inline bool is_in(int r, int c) {
return r > 0 && r <= n && c > 0 && c <= m;
}
int len;
int prime[maxn];
bool vis[maxn];
int mu[maxn];
int cnt[maxn*2];
void init(){
mu[1] = 1;
FOR(2, maxn){
if(!vis[i]){
prime[len++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 0; j < len && i * prime[j] < maxn; ++j){
vis[i*prime[j]] = 1;
if(i % prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
else{
mu[i*prime[j]] = 0;
break;
}
}
}
}
LL fast_pow(LL a, int n){
LL res = 1;
while(n){
if(n&1) res = res * a % mod;
n >>= 1;
a = a * a % mod;
}
return res;
}
int main(){
init();
int T; cin >> T;
for(int kase = 1; kase <= T; ++kase){
ms(cnt, 0);
scanf("%d", &n);
int mmin = maxn, mmax = -1;
FOR(0, n){
int x;
scanf("%d", &x);
++cnt[x];
mmin = min(mmin, x);
mmax = max(mmax, x);
}
for(int i = mmin; i <= mmax*2; ++i) cnt[i] += cnt[i-1];
LL ans = 0;
for(int i = 2; i <= mmin; ++i){
LL tmp = 1;
int t = mmax / i;
for(int j = 2; j <= t; ++j)
tmp = tmp * fast_pow(j, cnt[j*i+i-1] - cnt[j*i-1]) % mod;
ans = (ans - mu[i] * tmp + mod) % mod;
}
printf("Case #%d: %I64d
", kase, ans);
}
return 0;
}