(Beyas)定理
首先由条件概率的计算式有
[Pr{A|B}=frac{Pr{Acap B}}{Pr{B}}
]
结合交换律得到
[Pr{Acap B}=Pr{B}Pr{A|B}=Pr{A}Pr{B|A}
]
移项得到
[Pr{A|B}=frac{Pr{A}Pr{B|A}}{Pr{B}}
]
注意到(B=(Bcap A)cup(Bcap overline{A}))
又因为(Bcap A)与(Bcap overline{A})是互斥事件，所以有
[Pr{B}=Pr{Bcap A}+Pr{Bcap overline{A}}=Pr{B|A}Pr{A}+Pr{B|overline{A}}Pr{overline{A}}
]
代入原式有
[Pr{A|B}=frac{Pr{A}Pr{A|B}}{Pr{B|A}Pr{A}+Pr{B|overline{A}}Pr{overline{A}}}
]