题目
给定一个 \(n\) 个数的数组，要求找一个连续子区间，满足该子区间的区间 \(\&\) 和 \(>\) 区间异或和。求该子区间的最大长度。
思路
一开始还在想什么数据结构,二分什么的,然后发现\(\&\)有单调性而异或完全没有.
然后翻题解.
题解的意思是第\(k\)位,再枚举区间,使得区间\(\&\)起来后第\(k\)位为\(1\),异或起来后第\(k\)位为\(0\),为了保证区间\(\&\)更大,我们又要强制让区间异或起来后比\(k\)更高的位置为\(0\).
我们处理一个前缀数组\(pre_i=(a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus \ldots \oplus a_i)>>(k+1)\),则\(pre_r\oplus pre_{l-1}=(a_l\oplus a_{l+1}\oplus \ldots\oplus a_{r-1}\oplus a_r)>> (k+1)\).
我们需要找的一个区间\([l,r]\),使得该区间满足以下三个条件:
- \(r-l+1\),即区间长度为偶数,这就能保证异或后第\(k\)位为0.
- 区间内所有数第\(k\)为全为\(1\).
- \(pre_r\oplus pre_{l-1}=0\).
但是,其实要我说,第一个条件可以被第三个条件包含,只要将\(pre\)数组改为前\(i\)个数,大于等于第\(k\)位的异或和即可.
两个数异或和为\(0\)即两个数相等,区间第\(k\)位为\(1\)可以用双指针找.
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int read() {
int re = 0;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9')c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') re = (re << 1) + (re << 3) + c - '0' , c = getchar();
return re;
}
const int N = 1e6 + 10;
int n , k;
int a[N];
int ans = 0;
int pos[1 << 20];//pos[i]表示异或和为i的第一个位置为pos[i],目前没有则为-1
int main() {
n = read();
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
a[i] = read();
memset(pos , -1 , sizeof(pos));
for(int k = 19 ; k >= 0 ; k--) {
int l = 0 , r = 0;
while(l <= n) {
l = r + 1;
while(l <= n && ((a[l] >> k) & 1) == 0)++l;
r = l;
while(r <= n && ((a[r] >> k) & 1) == 1)++r;
--r;
if(l > n)continue;//l,r:[l,r]内所有数的第k为均为1
int sum = 0;//前缀
pos[sum] = l - 1;
for(int i = l ; i <= r ; i++) {
sum ^= (a[i] >> k);
if(pos[sum] == -1)
pos[sum] = i;
else
ans = max(ans , i - pos[sum]);
}
sum = 0 , pos[sum] = -1;//清空
for(int i = l ; i <= r ; i++)
sum ^= (a[i] >> k) , pos[sum] = -1;
}
}
cout << ans;
return 0;
}