1、问题：给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。 (递增子序列是指，子序列的元素是递增的）
递推公式：
2、原理分析：假设开始计算位置i，当位置i之前的所有记录都 大于位置i的值时，L(i) = 1； 当存在小于L(i)的位置时,比较所有情况，取最大值，L(i) = L(k)+1。
3、code：
（1）使用一维数据记录每个位置的最大上升子序列长度：keep[i] = L(i);
import java.util.Scanner;
/*
* 求最长上升子串
*/
public class Main10_1 {
public static void main(String args[] ) {
Scanner s = new Scanner(System.in);
int ar[] = {2,1,8,9,3,5,6};
int len = ar.length;
int keep[] = new int[len];
int temp;
int max = 1;
keep[0] = 1;
for(int i=1;i<len;i++) {
int j;
int count = 0;
for(j=i-1;j>=0;j--) {
//一点小变化，增加比较的次数
//找到第一个小于ar[i]的值
for(;(j>=0 && ar[j]>=ar[i]);j--);
if(j>=0) {
count = keep[j];
temp = ar[j];
for(j=j-1;j>=0;j--) {
//等价于每个子序列只计算一次（末尾元素降序）
if(ar[j]<ar[i] && ar[j]>temp) {
temp = ar[j];
count = Math.max(count,keep[j]);
}
}
}
/*
最原始的方法，存在多余的计算
if(ar[j]<ar[i]) {
count = Math.max(count, keep[j]);
}*/
}
keep[i] = count+1;
max = max>keep[i]?max:keep[i];
}
for(int i=0;i<len;i++) {
System.out.print(keep[i]+" ");
}
System.out.println("
"+max);
}
}
（2）使用一位数组记录到达长度的最小元素：keep[i] = A(k){ 0<=k <= i} ,更小的值存在更大的概率与后续值构成升序序列。
》从而记录数组天然构成一个升序序列，可以使用二分查找。
package yrc2;
import java.util.Scanner;
public class Main10_2 {
public static void main(String args[] ) {
Scanner s = new Scanner(System.in);
int ar[] = {2,1,8,9,3,5,6};
int len = ar.length;
int keep[] = new int[len+1];
int keep_len = 1;
keep[1] = ar[0];
for(int i=1;i<len;i++) {
int left = 1;
int right =keep_len;
while(left<=right) {
int mid = (left+right)/2;
if(keep[mid]<ar[i]) {
left=mid+1;
}else {
/*
* 当keep[mid]==ar[i]也执行right = mid-1,
* 导致后续操作只会执行第一个if，最终left>right退出
* 并且left位置就是相等时mid的位置
*/
right = mid-1;
}
}
keep[left] = ar[i];
if(left>keep_len) {
keep_len++;
}
}
for(int i=1;i<=keep_len;i++) {
System.out.print(keep[i]+" ");
}
System.out.println("
"+keep_len);
}
}