最长公共递增子序列（LCIS）

最长公共递增子序列（LCIS）

给定两个字符串，除了会求最长公共子序列（LCS），会求最长递增子序列（LIS），还要会求最长公共递增子序列（LCIS）

题目描述：

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们要研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个串A，B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数字，且数字是严格递增的，那么称这一段数字是两个串的公共上升子串，而所有的公共上升子串中最长的就是最长公共上升子串了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子串。不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法解析（转）

预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。

问题：

　　字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。

　　首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么？定义状态。

　　1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。

　　为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。

　　我们来考察一下这个这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？

　　首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。

　　那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i）

于是我们得出了状态转移方程：

a[i]!=b[j]: F[i][j]=F[i-1][j]

a[i]==b[j]: F[i][j]=max(F[i-1][k])+1 1<=k<=j-1&&b[j]>b[k]

不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。

但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。

如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。

最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。

代码一： O(n^3) 算法

View Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 char s1[1000], s2[1000];
 7 int dp[1000][1000];
 8 
 9 int Lcis()
10 {
11     memset(dp, 0, sizeof(dp));
12     int len1 = strlen(s1+1);
13     int len2 = strlen(s2+1);
14     for(int i = 1; i <= len1; ++i)
15     {
16         for(int j = 1; j <= len2; ++j)
17         {
18             if(s1[i] != s2[j])
19                 dp[i][j] = dp[i-1][j];
20             else           //s1[i-1] == s2[j-1]
21             {
22                 for(int k = 0; k < j; ++k)
23                 {    
24                     if(s2[j]>s2[k] && dp[i-1][k]+1>dp[i][j])
25                         dp[i][j] = dp[i-1][k] + 1;
26                 }
27             }
28         }
29     }
30     int max = 0;
31     for(i = 1; i <= len2; ++i)
32     {
33         //printf("%d ", dp[len1][i]);
34         if(max < dp[len1][i])
35             max = dp[len1][i];
36     }
37     return max;
38 }
39 
40 int main()
41 {
42     int T;
43     //freopen("input.txt", "r", stdin);
44     scanf("%d", &T);
45     while(T--)
46     {
47         scanf("%s%s", s1+1, s2+1);
48         printf("%d\n", Lcis());
49     }
50     return 0;
51 }

代码二： O(n^2) 算法

View Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 char s1[1000], s2[1000];
 7 int dp[1000][1000];
 8 
 9 int Lcis()
10 {
11     memset(dp, 0, sizeof(dp));
12     int max = 0;
13     int len1 = strlen(s1+1);
14     int len2 = strlen(s2+1);
15     for(int i = 1; i <= len1; ++i)
16     {
17         max = 0; 
18         for(int j = 1; j <= len2; ++j)
19         {
20             dp[i][j] = dp[i-1][j];  // 首先把dp[i][j]等于dp[i-1][j]
21             if(s1[i] > s2[j] && max<dp[i-1][j])// 如果s1[i]!=s2[j]则对于dp[i][j]没有任何影响，只需更新max   
22                 max = dp[i-1][j];
23             if(s1[i] == s2[j])
24                 dp[i][j] = max + 1;
25         }
26     }
27     max = 0;
28     for(int i = 1; i <= len2; ++i)
29     {
30         if(max < dp[len1][i])
31             max = dp[len1][i];
32     }
33     return max;
34 }
35 
36 int main()
37 {
38     int T;
39     //freopen("input.txt", "r", stdin);
40     scanf("%d", &T);
41     while(T--)
42     {
43         scanf("%s%s", s1+1, s2+1);
44         printf("%d\n", Lcis());
45     }
46     return 0;
47 }

　　其实还有一个很风骚的一维的算法。在此基础上压掉了一维空间（时间还是平方）。i循环到x的时候，F[i]表示原来F[x][j]。之所以可以这样，是因为如果a[i]!=b[j]，因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变，F[x]不用改变，沿用过去的就好了，和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。而a[i]==b[j]的时候，就改变F[x]的值好了。具体结合代码理解

代码三： O(n^2) 算法空间优化

View Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 char s1[1000], s2[1000];
 7 int dp[1000];
 8 
 9 int Lcis()
10 {
11     memset(dp, 0, sizeof(dp));
12     int max = 0;
13     int len1 = strlen(s1+1);
14     int len2 = strlen(s2+1);
15     for(int i = 1; i <= len1; ++i)
16     {
17         max = 0; 
18         for(int j = 1; j <= len2; ++j)
19         {
20             if(s1[i] > s2[j] && max<dp[j])// 如果s1[i]!=s2[j]则对于dp[i][j]没有任何影响，只需更新max   
21                 max = dp[j];
22             if(s1[i] == s2[j])
23                 dp[j] = max + 1;
24         }
25     }
26     max = 0;
27     for(int i = 1; i <= len2; ++i)
28     {
29         if(max < dp[i])
30             max = dp[i];
31     }
32     return max;
33 }
34 
35 int main()
36 {
37     int T;
38     //freopen("input.txt", "r", stdin);
39     scanf("%d", &T);
40     while(T--)
41     {
42         scanf("%s%s", s1+1, s2+1);
43         printf("%d\n", Lcis());
44     }
45     return 0;
46 }