性质1 若直线上的两点在平面内，则直线在平面内
大写字母表示点 l表示线 α β γ表示面
性质2 不共线的三点确定一个平面
推论1 直线和直线外一点 确定一个平面 例如：相框 三条腿的椅子
利用性质2 的公理证明 推论1 直线上找2点 与直线为的一点 确定一个平面 性质1+性质2
推论2 两条相交的直线确定一个平面 例如 电脑椅子
交叉点 与不在同一直线的两点 确定一个平面 性质2+2次性质1
推论3 两条平行直线确定一个平面 例如滑雪 两条滑雪板
平行的两条线确定平面 只需再用性质2证明面的唯一性即可
性质为公理 推论为定理 公理不证明 定理需要证明
性质3 若两个平面有公共点 则存在唯一的过公共点的交线
P属于 α P属于β 存在唯一的l P属于l α交β=l
性质4 平行于同一直线的两直线平行 空间平行线的传递性
公理： 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 不用证明
等角定理：若两个角对应边平行且方向相同 则两个角大小相等。
三点共线转化为三线共点 利用性质3 点属于线 线包含于面 两面相交于线
求截面 同面延长 到一点 再连接
空间平行关系
1.线线的关系
定义：同一个平面内不相交的两条直线 平行 为定义
传递性： m平行于l l平行与n 则 m n平行
位置：共面中 平行或者相交
异面中
2.线面的关系
定义：直线l与平面 α 无公共点
l平行于 α
传递性：两条直线与同一个平面平行 ，此两条直线不一定平行 所以传递性不成立
l平行与 α m平行于β l不一定平行于m
判定定理：平面外直线与平面内直线平行，则线面平行
m不包含于α n包含于α m平行于n 则可以推出 m平行于α
证明的过程中 定义不好用 而定理好用 所以常用
性质：若线面平行，过直线的平面与原平面相交 直线与交线平行
判定定理为从不知道 到知道
性质定理为已经知道了 然后再运用
如下图所示 从线线平行运用判定定理可以推出线面平行
从线面平行可以运用性质定理知道 线和过线的平面与面的交线平行
从上图可以看出线---》面为一维到二维 证明时利用判定定理
面---》线为高维到低维 证明时利用性质定理
3.面面的关系
定义：没有公共点 α平行于β
传递性：α平行于β，β平行于γ，α则平行于γ 成立
判定定理：
直线m，n相交 且m，n平行于平面α m n包含于 β 则β平行于α
推论：线m交n于A 线a交b于B m n分别与a b平行 这 两个面平行
若一个平面内两条相交直线分别与另一个平面内直线平行，则面面平行
性质定理：已知面面平行 推出线线平行
如果一个平面与两个平行平面相交，则交线平行
证明题：方法假设结论已知，推性质
逆过程就是证明的过程
总结 ：如何“找” 就利用上面的假设成立
线面 面面===》线线平行
1.中位线
2.平行四边形
3.相似比例
二：垂直关系
1.线线垂直
定义：本身或者平移之后垂直的 都叫做空间中的线线垂直
m⊥n
平面中的线线垂直 两条直线相交 且夹角为90度 则垂直
异面的直线 平移之后与线相交 且为90度 则垂直
传递性：m⊥n n⊥l m不一定⊥l 但是m与l平行或异面
2.线面垂直
定义：直线垂直于平面内任意一条直线 则直线垂直与平民啊
m⊥面α
判定定理：直线垂直与平面内两条相交直线 则线面垂直
性质定理：两条线已经垂直于面 则两条线平行
判定定理的推论：l平行与m l⊥α 可以得出m⊥α
总结：1.倒推分析
2.异面 和共面
3.平移 （ 利用平行四边形 中位线 等） 线面 互相倒
4.共面 中点考虑三线合一 三角形考虑勾股定理 条件
3.线面垂直
定义：两个平面相交 第三个平面垂直于交线 与两个平面相交 两交线垂直 则面面垂直
α交β=l γ垂直于l γ交α=m γ交β=n m垂直于n 推出α垂直于β
判定定理：一条直线垂直于一个平面 则过这条直线的平面垂直于这个平面
l包含于β l垂直于α 则α垂直于β
性质定理：α垂直于β 两面交线为m 一个面中的线l垂直于m 则 l 垂直于另一个平面
图示1
图示2
