POJ 1061 青蛙的约会

1. 数学题，欧几里得算法，求不定方程的整数解问题；

2. 必要的数学知识（转）：

此题其实就是扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。

　　设过s步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：

　　　　(x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

　　稍微变一下形得：

　　　　(n-m)*s+k*l=x-y

    令n-m=a,k=b,x-y=c,即

　　　　a*s+b*l=c

　　只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现：

　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
    　　if(b == 0)
    　　{
        　　x = 1;
        　　y = 0;
       　　 return a;
    　　}
    　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    　　int t = x;
    　　x = y;
    　　y = t - a / b * y;
　　    return r;
　　}

　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

　　可以这样思考:

　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

　　那么可以得到:

　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).

求a * x + b * y = n的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

    2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

        x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

3. 照上边的推导过程写代码，WA了几次，因为忽略了数的范围，应该用long long；

#include <iostream>
using namespace std;

long long gcd(long long a, long long b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

long long exGcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long r = exGcd(b, a % b, x, y);
    long long t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;
    return r;
}

int main()
{
    long long x, y, m, n, l, x0, y0, t;
    while(cin >> x >> y >> m >> n >> l)
    {
        long long a = n - m;
        long long c = x - y;
        long long gcd_a_l = gcd(a, l);
        if (c % gcd_a_l == 0)
        {
            a = a / gcd_a_l;
            c = c / gcd_a_l;
            l = l / gcd_a_l;
            exGcd(a, l, x0, y0);
            t = c * x0 / l;
            x0 = c * x0 - l * t;
            if (x0 < 0)
                x0 += l;
            cout << x0 << endl;
        }
        else cout << "Impossible" << endl;
    }
    return 0;

}