记一道好VAN的数学题

2020.4.12 Solution

首先发掘几个性质:

  • (99) 个点可以分成 (33) 组,每组中个(3) 个点组成等边三角形。两两端点相差 (33) 条弧。

  • 任意状态下,已经染完色的点是连续的链,并且上次染的色一定是左右两个端点(只能染相邻的)

  • 奇数次操作是甲操作的,偶数次操作是乙操作的。(显然)

然后考虑是否能让乙无论如何都能构造出一个等色等边三角形出来。

考虑当第 (34) 步时,左端点和右端点距离(33)段弧,与他们同时相距 (33) 步的点 (z),可以构成一个等边三角形。因为偶数步是乙操作的,所以乙必然能使左右端点颜色一致(他染的跟之前的一致即可)。

然后问题就变成了乙是否能顺利染到点 (z)

考虑当前到左右端点到点 (z) 是两条长度为 (33) 路,所以问题转化为了:

  • 两个变量 ((x, y)),初始都是 (0)
  • 甲先操作,乙后操作。两个人轮流可以让 (x)(y) 中的其一 (+1)
  • 问乙是否能先加到 (33)(他操作完之后)

然后我们发现是必然的。

首先甲操作第一步状态肯定变成 ((0, 1))(剩下是对称的)

然后乙变成这样 ((1, 1))

第二步状态肯定变成 ((2, 1))(剩下是对称的)

然后乙变成这样 ((2, 2))

以此类推,每次乙都操作甲没操作的那边,让 (x = y)

因为每轮过后 (x + 1, y + 1)

当甲迫不得已让 (x, y) 中的一个变成 (32) 后,乙恶人先出手,直接把他加到 (33) 即可。

(这是一种猥琐的思想,简称敌不动我不动)

原文地址:https://www.cnblogs.com/dmoransky/p/12685758.html