支配树（DominatorTree）
对于一个流程图,单源有向图，上点\(w\)，如果去掉一个点\(d\),使得源点无法到达则称其支配\(w\)。
通过定义，我们知道支配的这个定义，满足传递性。
定理一：
除源点外所有点均有单一的最近支配点。
且我们知道如果我们找到最近的支配点\((immediate dominator)\),\(idom(w)\)，以源点作为祖先，将其构成树，则满足一个点的祖先链上全为其的支配点。
支配树相关性质：
我们随便选择一颗生成树。
下列的所有比较均为\(dfn\)序比较。
引理一：路径原理：
如果两个点满足\(v \leq w\)，那么所有\(v\)到\(w\)的路径经过其公共祖先。
符号规定
下列规定一些符号：
\(a\to b\)代表点\(a\)直接经过一条边到达点\(b\)
\(a \rightsquigarrow b\)代表点\(a\)经过某条路径到达点\(b\)
\(a \stackrel{。}{\to} b\)代表经过DFS树到达点\(b\)。
\(a \stackrel{+}{\to} b\)代表\(a \stackrel{。}{\to} b\)且\(a \neq b\)
定义半支配点
对于\(w\neq r\)，他的半支配点\((semi-dominator)\)定义为\(sdom(w) = \min{v|\exists (v_0,v+1,...v_{k - 1},v_k),v_0 = v,v_k = w,\forall(i\neq 0) v_i > w}\)
引理2:对于任意\(w \neq r\)，有\(idom(w) \stackrel{+}{\to} w\)
引理3:对于任意\(w \neq r\)，有\(sdom(w) \stackrel{+}{\to} w\)
引理4：对于任意\(w \neq r\)，有\(idom(w) \stackrel{。}{\to} sdom(w)\)
证明：考虑若不如此，则存在一条\(r \stackrel{。}{\to} sdom(w) \rightsquigarrow w\),与\(idom\)定义矛盾。
引理5:对于满足\(v \stackrel{。}{\to} w\),\(v \stackrel{。}{\to} idom(w)\)或\(idom(w) \stackrel{。}{\to} idom(v)\)
证明：如果不是这样：该情况为:\(idom(v) \stackrel{+}{\to} idom(w) \stackrel{+}{\to} v\stackrel{+}{\to} w\),那么存在路径\(r \stackrel{。}{\to} idom(v) \rightsquigarrow v \stackrel{+}{\to} w\),不经过\(idom(w)\)到达了\(w\)，因为\(idom(w)\)为\(idom(v)\)的真后代，一定不支配\(v\)
前面几条引理较为简单。
后面我们来证明一些较为复杂的定理。
定理二：
定理三：
推论一：
接下里考虑如何快速求出\(sdom\)
定理四：
Lengauer-Tarjan算法
算法有四步：
一：先跑出\(DFS\)
二：利用定理四从大到小求出\(sdom\)
三：通过推论一求出所有能确定的\(idom\)，否则记录和哪个点的\(idom\)相同
四：从小到大跑出所有的点的\(idom\)
细节：
支配树
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 200005
using std::vector;
int n,m;
vector<int>to[N];
vector<int>in[N];
vector<int>buk[N];
int head[N];
int sdom[N],idom[N];
int fa[N];
int eval[N];
//DSU
int dfn[N],cnt;
int inv[N];
int F[N];
int vis[N];
//tree
inline void dfs(int u){
vis[u] = 1;
dfn[u] = ++cnt;
sdom[u] = dfn[u];
inv[dfn[u]] = u;
for(int i = 0;i < to[u].size();++i){
if(!vis[to[u][i]]){
int v = to[u][i];
F[v] = u;
dfs(v);
}
}
}
//sdom : dfn eval : point idom : point
inline int find(int u){
if(fa[u] == u)return u;
int f = find(fa[u]);
if(sdom[eval[fa[u]]] < sdom[eval[u]])
eval[u] = eval[fa[u]];
return fa[u] = f;
}
inline void merge(int x,int y){//x -> y
// std::cout<<"("<<x<<"->"<<y<<")"<<std::endl;
fa[x] = y;
}
inline void delta(int u){
for(;head[u] < buk[u].size();++head[u]){
int v = buk[u][head[u]];
int f = find(v);
if(sdom[eval[v]] == sdom[v])
idom[v] = u;
else
idom[v] = eval[v];
}
}
inline void del(int u){
for(int i = 0;i < in[u].size();++i){
int v = in[u][i];
int f = find(v);
sdom[u] = std::min(sdom[u],sdom[eval[v]]);
}
buk[inv[sdom[u]]].push_back(u);
merge(u,F[u]);
delta(F[u]);
}
//Dom tree
vector<int>A[N];
int siz[N];
inline void serch(int u){
siz[u] = 1;
for(int i = 0;i < A[u].size();++i)
serch(A[u][i]),siz[u] += siz[A[u][i]];
}
int s;
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i = 1;i <= n;++i)
fa[i] = i,eval[i] = i;
for(int i = 1;i <= m;++i){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
x ++ ,y ++ ;
to[x].push_back(y);
in[y].push_back(x);
}
dfs(s + 1);
for(int i = n;i >= 2;--i){
int u = inv[i];
del(u);//find_sdom
}
for(int i = 1;i <= n;++i){
int u = inv[i];
if(idom[u] != inv[sdom[u]])
idom[u] = idom[idom[u]];
}
for(int i = 1;i <= n;++i)
std::cout<<idom[i]<<" ";
}