剑指offer 丑数

题目描述

把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

 

思路：第一种方法就是暴力求解方法。

 

class Solution {
public:
bool judge(int n){
    while(n != 1){
        if (n % 2 == 0) {
            n = n / 2;
        }
        else if(n % 3 == 0){
            n = n / 3;
        }
        else if(n % 5 == 0){
            n = n / 5;
        }
        else{
            return false;
        }
    }
 
    return true;
}
int GetUglyNumber_Solution(int index) {
    if(index <= 0){
        return 0;
    }
    int i = 1;
    int number = 0;
    for(i;i <= index;){
        ++number;
        if(judge(number)){
            ++i;
        }       
    }
    return number;
}
};

第二种方法是用一个数组记录丑数，用空间换时间的方法，画图辅助分析。

下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M₂。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅三个数的最小者。

前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T₂，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T₂。对乘以3和5而言，存在着同样的T₃和T₅。

class Solution {
public:
    int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index <= 6){
            return index;
        }
        vector<int> num(index,0);
        num[0] = 1;
        int p2 = 0;
        int p3 = 0;
        int p5 = 0;
        for(int i = 1;i < index;++i){            
            num[i] = min(num[p2] * 2,min(num[p3] * 3,num[p5] * 5));
            if(num[i] == num[p2] * 2){
                ++p2;
            }
            if(num[i] == num[p3] * 3){
                ++p3;
            }
            if(num[i] == num[p5] * 5){
                ++p5;
            }
        }
        return num[index - 1];
    }
};