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目录
A数学体系概述、主要分支、学科分类(MSC)、构成联系和应用数学简介(62k字)
I. 数学体系分支概述
II. 数学体系主要分支
III. 美国数学会(AMS)官网《2010年数学学科分类》
IV. 数学体系的构成和各分支间的联系
V. 应用数学
素材(1.2k字)
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数学体系概述、主要分支、学科分类(MSC)、构成联系和应用数学简介
文|秦陇纪，数据简化DataSimp©20190804Sun0810Sat
科学理论研究、工程技术工作是离不开数学的。如果抛开具体的科学问题和工程场景，单纯地学习数学知识，所用教材在教学中只有知识点干条条，就会显得枯燥乏味，而国内的教育教学就是这种模式——一切学科分科简化为经验为主的语文知识。所以，大多国内学生刷题、考试、竞赛很牛，但是真正运用到实际当中的能力非常弱。尤其国内科学研究者使用数学工具的能力依然较弱，其学术训练从高等教育就不充分，不足以支撑面向真实场景和具体问题的数学思维能力。
本文虽然脱离具体的科学问题和工程场景介绍各个数学分支，但是根据 美国数学会(AMS)官网《 2010年数学学科分类》的 MSC2010和 MSC2020分类，结合国内数学体系分类文章，综述数学学科体系分类情况，使得科技工作者形成框架性认知；以期帮助研究者在各领域应用、学科应用、学术应用、教学应用和科学研究中，定位数学工具所处理论位置。其中，MSC2010和MSC2020分类本身就是来源于纯粹和应用数学，以及各种专业领域或学科相关研究中发展了的数学知识。
但若要形成科学研究能力——对具体自然、社会现象做出可以 观察、描述，形式化为数学或科学理论表达形式，用 数学工具描述问题，进而做科学理论上的推论、证明、计算、演绎、归纳和结论，只有数学思维和工具能力是不够的，必须对所研究问题能够从宏观到微观科学思维并流程化——分解观察、测量、表达、计算、证明的步骤，才能对具体现象或问题做出 实证或证伪。在 XX科学的讨论中，经常看到很多教授、博导并不具备合格的科学研究思维，依然是用语言文字表达为主的识字思考型思维泛泛而谈，用语文思想理论(这种理论并非科学理论)来思维、讨论，甚至写论文。
在非科学研究领域，即不采用严格数学工具的研究范式的学术研究领域，数学工具也有其应用，此处不作解读(详情请期待拙著《数据资源概述》和《数据简化技术》)。综合来说，数学工具在科学研究和学术研究中，都有举足轻重的应用和作用。下面，我们从三大方面来综述数学体系分支。
I. 数学体系分支概述
最早的数学是算术。算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算，是研究自然数(正整数)、分数、小数的简单性质，及其加、减、乘、除、乘方、开方运算法则的一门学科。“算术”这个词，在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多数学分支学科的名称，都是后来很晚的时候才有的。但西方则由算术进一步发展起整数论和代数学，加之对无穷、极限的思考和形式化表达，进而走向近世代数等更加抽象、多样、完备的数学体系。
比如，人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。西方数学分支(The Branches of Mathematicsby Western)由此展开，逐渐把中国数学远远超越到落后地区。中国数学研究圈子止步于实用主义，受制于大的文化背景和学术环境限制，无法理论突破和创造性地做学问、做研究，变成了只有看到西方数学成果而后，才去学习追赶的份。另外，数学教育也是实用主义和脱离实际，导致无法做纯理论研究和提不起兴趣。时至今日，中国依然没有专业领域圈子导向的学术交流和科学研究土壤。
又比如，当今非常火的人工智能的三个分支：认知、机器学习、深度学习。其中代表性的机器学习，是一门集概率论、线性代数、数值计算、优化理论和计算机科学等多个领域的交叉学科。如果在本科及之前，没有学习概念、记公式、解体数学知识、做数学证明，那么在本科或研究生阶段就很难理解或应用机器学习方法，从现实任务出发，在短时间内使用概率与统计、线性代数和凸优化等数学基础知识做出机器学习系统。还有人工智能数学基础——最优化方法，人工智能的目标就是最优化：在复杂环境与多体交互中做出最优决策。几乎所有的人工智能问题最后都会归结为一个优化问题的求解，因而最优化理论是人工智能必备的基础知识。
数学原本是很实实在在的理论学科——加减乘除平面立体几何，很贴近自然事物和人类直观思维，然而经历了多年的发展却已经变得越来越抽象，结果就是大多数人很难对数学的了解上升到更高水平。初等数学教育之后的高等数学教育，必须要有宏观认知。
如果有人不相信数学是简单的，那是因为他们没有意识到人生有多复杂。——冯·诺依曼
简单地说一下；高等数学中有“三低三高”之说，也就是指分析、代数和几何三个分支。
其中，三低是指大学的基础课程，
分析主要指 数学分析(包括实数理论、微积分理论、级数理论、微分方程等)，
代数主要指 高等代数(包括多项式理论、矩阵理论、向量空间、线性空间等)，
几何主要指 空间解析几何(包括投影几何、仿射几何等)；
三高是指对应三个基础方面的提高性研究，
分析包括 实分析、复分析、泛函分析等，
代数包括 抽象代数(群、环、域等)还有一些特殊的 代数结构，
几何主要指拓扑学以及利用分析和代数理论为工具研究的 拓扑空间(如微分几何、黎曼几何等等、辛几何等等)。
三高三低的说法大致可以反映高等数学教学的一些概况，当也不完全合适。到了三高部分，各自的特色已经不那么明显了。现代数学研究呈现出结构和分析两大特色，在很多不同的领域都可以交叉使用。分析中融入了代数工具，如泛函空间也可以看作是代数空间。代数研究中也常采用分析的方法，如解析数论。而对几何的研究更是建立在空间的基础上用分析的手段来处理。
针对提出的问题；
高等几何：研究包括空间图形的数学形式的确定(如空间曲面的表示等)、空间图形变换(也就是数学形式的变换)关系，其中变换有很多种。
群论基础：群的概念是 抽象代数(也叫 近世代数)最基本的概念之一，群论研究的是群的结构形式和不同群之间的相互关系，如什么样的代数可以构成群，群的元素个数，子群及其关系，群的同构等。
拓扑学：简单地讲就是研究连续变换下的不变量，展开来讲就比较复杂了。
微分几何：看名字就知道干吗了。就是借助微分研究几何，在微分几何中，变量的概念会从传统的标量、向量、泛函被推广到＂流形＂组合数学：包括三个方面，组合分析、组合记数、组合设计。高中学的排列组合就是属于组合记数的内容。
总之，数学说难很难，说不难也不是很难。数学的学习有着严格的逻辑关系，基础不好后面的课程是根本学不好的。要想学后后续深入的课程必须把基础打好，很多艰深的数学最后都是要化归到基础的微积分、线性代数来解决。
但不论国内还是国外知名高校，每个学校的安排都不会一样！~数学专业各个方向的所学也不一样，包括应用数学型学院校，数学各方向都有的全球大学凤毛麟角。一般的学校，
大一：高等代数，数学分析，解析几何；
大二：常微分方程，偏微分方程，变分法；实变函数，复变函数，泛函分析；近世代数，空间解析几何，微分几何，C语言或伪语言；
大三：数学物理方程，拓扑学，运筹学，微分几何；数据结构，数学模型，数学分析，数值分析，数值逼近，数值代数，微分方程数值解，概率论基础，数理统计，时间序列分析；
大四：概率论与数理统计，数据分析，运筹学，离散数学，随机过程之类的等等，自己选择。
高等数学不是数学的专业课，一般是非数学类的所学，里面包含了微积分，解析几何，常微分等内容，比较概括，只注重计算。
数学分析是数学类基础课，主要内容是微积分之类的，比高等数学讲得要深，既要掌握定理证明，也注重计算能力。
线性代数是非数学类开的课程，高等代数是数学类专业课程，它比线性代数内容要深，两门课都是讲矩阵，线性方程组等内容。
数学中的许多计算是非常繁琐的，特别是函数的作图费时又费力，而且所画的图形很不规范，所以现在流行用三大数学软件Mathematica和MATLAB、Maple来帮助研究者做数学处理。
下面，我们介绍一下最简单的数学体系分支。
1..数学史
2.. 数理逻辑与数学基础
a.. 演绎逻辑学亦称符号逻辑学
b.. 证明论亦称元数学
c.. 递归论
d.. 模型论
e.. 公理集合论
f.. 数学基础
g.. 数理逻辑与数学基础其他学科
3.. 数论
a.. 初等数论
b.. 解析数论
c.. 代数数论
d.. 超越数论
e.. 丢番图逼近
f.. 数的几何
g.. 概率数论
h.. 计算数论
i.. 数论其他学科
4.. 代数学
a.. 线性代数
b.. 群论
c.. 域论
d.. 李群
e.. 李代数
f.. Kac-Moody代数
g.. 环论包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结
合代数等
h.. 模论
i.. 格论
j.. 泛代数理论
k.. 范畴论
l.. 同调代数
m.. 代数K理论
n.. 微分代数
o.. 代数编码理论
p.. 代数学其他学科
5.. 代数几何学
6.. 几何学
a.. 几何学基础
b.. 欧氏几何学
c.. 非欧几何学包括黎曼几何学等
d.. 球面几何学
e.. 向量和张量分析
f.. 仿射几何学
g.. 射影几何学
h.. 微分几何学
i.. 分数维几何
j.. 计算几何学
k.. 几何学其他学科
7.. 拓扑学
a.. 点集拓扑学
b.. 代数拓扑学
c.. 同伦论
d.. 低维拓扑学
e.. 同调论
f.. 维数论
g.. 格上拓扑学
h.. 纤维丛论
i.. 几何拓扑学
j.. 奇点理论
k.. 微分拓扑学
l.. 拓扑学其他学科
8.. 数学分析
a.. 微分学
b.. 积分学
c.. 级数论
d.. 数学分析其他学科
9.. 非标准分析
10.. 函数论
a.. 实变函数论
b.. 单复变函数论
c.. 多复变函数论
d.. 函数逼近论
e.. 调和分析
f.. 复流形
g.. 特殊函数论
h.. 函数论其他学科
11.. 常微分方程
a.. 定性理论
b.. 稳定性理论
c.. 解析理论
d.. 常微分方程其他学科
12.. 偏微分方程
a.. 椭圆型偏微分方程
b.. 双曲型偏微分方程
c.. 抛物型偏微分方程
d.. 非线性偏微分方程
e.. 偏微分方程其他学科
13.. 动力系统
a.. 微分动力系统
b.. 拓扑动力系统
c.. 复动力系统
d.. 动力系统其他学科
14.. 积分方程
15.. 泛函分析
a.. 线性算子理论
b.. 变分法
c.. 拓扑线性空间
d.. 希尔伯特空间
e.. 函数空间
f.. 巴拿赫空间
g.. 算子代数
h.. 测度与积分
i.. 广义函数论
j.. 非线性泛函分析
k.. 泛函分析其他学科
16.. 计算数学
a.. 插值法与逼近论
b.. 常微分方程数值解
c.. 偏微分方程数值解
d.. 积分方程数值解
e.. 数值代数
f.. 连续问题离散化方法
g.. 随机数值实验
h.. 误差分析
i.. 计算数学其他学科
17.. 概率论
a.. 几何概率
b.. 概率分布
c.. 极限理论
d.. 随机过程包括正态过程与平稳过程、点过程等
e.. 马尔可夫过程
f.. 随机分析
g.. 鞅论
h.. 应用概率论具体应用入有关学科
i.. 概率论其他学科
18.. 数理统计学
a.. 抽样理论包括抽样分布、抽样调查等
b.. 假设检验
c.. 非参数统计
d.. 方差分析
e.. 相关回归分析
f.. 统计推断
g.. 贝叶斯统计包括参数估计等
h.. 试验设计
i.. 多元分析
j.. 统计判决理论
k.. 时间序列分析
l.. 数理统计学其他学科
19.. 应用统计数学
a.. 统计质量控制
b.. 可靠性数学
c.. 保险数学
d.. 统计模拟
20.. 应用统计数学其他学科
21.. 运筹学
a.. 线性规划
b.. 非线性规划
c.. 动态规划
d.. 组合最优化
e.. 参数规划
f.. 整数规划
g.. 随机规划
h.. 排队论
i.. 对策论亦称博弈论
j.. 库存论
k.. 决策论
l.. 搜索论
m.. 图论
n.. 统筹论
o.. 最优化
p.. 运筹学其他学科
22.. 组合数学
23.. 模糊数学
24.. 应用数学具体应用入有关学科
25.. 数学其他学科
最后，推荐几本数学书籍。①《 数学》([英] 蒂莫西·高尔斯所著)，传达主流数学的魅力，揭开数与空间的神秘面纱。从哲学高度展示数学思维方式，启示你如何抽象思考。剑桥大学数学教授，“数学界诺贝尔奖”——菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯著，中国科学院院士、著名数学学者李大潜推荐。②《 数学指南--实用数学手册》(埃伯哈德·蔡德勒等编；李文林等译)，一部畅销欧美的数学手册，内容全面而丰富，涵盖分析学、代数学、几何学、数学基础、变分法与优化、概率论与数理统计、计算数学与科学计算、数学分析等。③《 代数的历史》(J,Derbyshir)，代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之。代数学最大的特点：引入了未知数，建立方程，对未知数加以运算。伽罗瓦群论(group)代数的范畴：算数初等。