也称为Degenerate pdf, 退化概率密度函数. 未经考证的解释是: 当正态分布的(sigma o 0)时, 正态分布就退化为这个分布了.
# 定义 $$ delta(x) = egin{cases} 0, x eq 0 \ infty, x = 0 end{cases} $$ 因为是由正态分布退化而来的概率密度函数: $$ int _{-infty}^{+infty} delta(x) dx = 1 $$ (不知道如何严格的证明) # Sifting Property (TODO, 译为筛选性质?) $$ int _{-infty}^{+infty} f(x)delta(x - mu) dx = f(mu) $$ 证明如下: 令$t = x - mu, x = t + mu$, 得: $$ int _{-infty}^{+infty} f(x)delta(x - mu) dx = int _{-infty}^{+infty} f(t + mu)delta(t) dt = int _{-epsilon}^{+epsilon} f(t + mu)delta(t) dt = f(mu)int_{-infty}^{+infty}delta(t)dt = f(mu) $$ 其中, $epsilon o^+ 0$. 看来, $f(x)$还得在$(-epsilon, +epsilon)$邻域内连续.