向量叉积定义的证明

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向量叉积定义的证明

 

前面写了一篇向量点积定义的证明，由于这个证明比较简单，所以也没有引起深入的思考。后来打算写一篇叉积的证明时，却发现有些东西真的不好理解。

设两个向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)，两向量夹角为θθ，很多教材包括维基百科(Cross Product)等给出的定义都是：

c=a×b=n|a||b|sinθc=a×b=n|a||b|sin⁡θ

其中nn是垂直于向量a,ba,b的单位向量，方向由右手法则确定。这样定义似乎没什么不妥，但是我在考虑一些问题：给出这个定义的数学家，他是怎么发现叉积的结果垂直于两向量？向量的模长为什么恰好等于|a||b|sinθ|a||b|sin⁡θ？下面给出我对这些问题的理解。

我想数学家们刚开始定义向量的叉乘运算(××)时，给出的唯一基本定义是：a×ba×b的结果cc是垂直于向量a,ba,b的一个向量，其方向由右手法则确定；如果向量a,ba,b平行，则叉积结果为零向量。有了这个定义，再根据乘法对加法的分配率，便可得到叉积运算的坐标表达式：

a×b===(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k) x1i×(x2i+y2j+z2k)+y1j×(x2i+y2j+z2k)+z1k×(x2i+y2j+z2k) x1x2(i×i)+x1y2(i×j)+x1z2(i×k)+ y1x2(j×i)+y1y2(j×j)+y1z2(j×k)+ z1x2(k×i)+z1y2(k×j)+z1z2(k×k)(1)(2)(3)(4)(5)(1)a×b=(x1i+y1j+z1k)×(x2i+y2j+z2k)(2)= x1i×(x2i+y2j+z2k)+y1j×(x2i+y2j+z2k)+z1k×(x2i+y2j+z2k)(3)= x1x2(i×i)+x1y2(i×j)+x1z2(i×k)+(4) y1x2(j×i)+y1y2(j×j)+y1z2(j×k)+(5) z1x2(k×i)+z1y2(k×j)+z1z2(k×k)

其中i,j,ki,j,k分别表示x、y、z轴方向的单位向量。那么根据向量叉积的定义：i×i=j×j=k×k=0i×i=j×j=k×k=0，i×j=ki×j=k，j×k=ij×k=i，k×i=jk×i=j，j×i=−kj×i=−k，k×j=−ik×j=−i，i×k=−ji×k=−j，因此便得到：

a×b=(y1z2−z1y2)i+(z1x2−x1z2)j+(x1y2−y1x2)k=(y1z2−z1y2, z1x2−x1z2, x1y2−y1x2)(6)(7)(6)a×b=(y1z2−z1y2)i+(z1x2−x1z2)j+(x1y2−y1x2)k(7)=(y1z2−z1y2, z1x2−x1z2, x1y2−y1x2)

下面来证明|c|=|a||b|sinθ|c|=|a||b|sin⁡θ：

|c|2== (y1z2−z1y2)2+(z1x2−x1z2)2+(x1y2−y1x2)2 y21z22+z21y22−2y1y2z1z2+z21x22+x21z22−2x1x2z1z2+ x21y22+y21x22−2x1x2y1y2(8)(9)(10)(8)|c|2= (y1z2−z1y2)2+(z1x2−x1z2)2+(x1y2−y1x2)2(9)= y12z22+z12y22−2y1y2z1z2+z12x22+x12z22−2x1x2z1z2+(10) x12y22+y12x22−2x1x2y1y2

又根据向量点积的定义：

(|a||b|sinθ)2=(|a||b|)2sin2θ=(|a||b|)2(1−cos2θ)=(|a||b|)2(1−(a⋅b)2(|a||b|)2)=(|a||b|)2−(a⋅b)2(11)(12)(13)(14)(11)(|a||b|sin⁡θ)2=(|a||b|)2sin2⁡θ(12)=(|a||b|)2(1−cos2⁡θ)(13)=(|a||b|)2(1−(a⋅b)2(|a||b|)2)(14)=(|a||b|)2−(a⋅b)2

因为：

(|a||b|)2=== (x21+y21+z21−−−−−−−−−−√x22+y22+z22−−−−−−−−−−√)2 (x21+y21+z21)(x22+y22+z22) x21x22+y21y22+z21z22+x21y22+x21z22+y21x22+y21z22+z21x22+z21y22(15)(16)(17)(15)(|a||b|)2= (x12+y12+z12x22+y22+z22)2(16)= (x12+y12+z12)(x22+y22+z22)(17)= x12x22+y12y22+z12z22+x12y22+x12z22+y12x22+y12z22+z12x22+z12y22

而且

(a⋅b)2== (x1x2+y1y2+z1z2)2 x21x22+y21y22+z21z22+2x1x2y1y2+2x1x2z1z2+2y1y2z1z2(18)(19)(18)(a⋅b)2= (x1x2+y1y2+z1z2)2(19)= x12x22+y12y22+z12z22+2x1x2y1y2+2x1x2z1z2+2y1y2z1z2

容易看出：(|a||b|)2−(a⋅b)2=|c|2(|a||b|)2−(a⋅b)2=|c|2，即：

|c|=|a||b|sinθ