线性模型
线性回归应用场景
什么是线性回归
定义与公式
线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
- 特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归
那么怎么理解呢？我们来看几个例子
- 期末成绩：0.7×考试成绩+0.3×平时成绩
- 房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立的一个关系，这个可以理解为回归方程。
线性回归的特征与目标的关系分析
线性回归当中的关系有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。在这里我们只能画一个平面更好去理解，所以都用单个特征举例子。
- 线性关系
线性回归的损失和优化原理（理解记忆）
假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系
真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）
随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子
损失函数
总损失定义为：
- y_i为第i个训练样本的真实值
- h(x_i)为第i个训练样本特征值组合预测函数
- 又称最小二乘法
如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！
优化方法
如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）
线性回归经常使用的两种优化算法
- 正规方程
线性回归API
sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True) 通过正规方程优化 fit_intercept：是否计算偏置 LinearRegression.coef_：回归系数 LinearRegression.intercept_：偏置 sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01) SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。 loss:损失类型 loss=”squared_loss”: 普通最小二乘法 fit_intercept：是否计算偏置 learning_rate : string, optional 学习率填充 'constant': eta = eta0 'optimal': eta = 1.0 / (alpha * (t + t0)) [default] 'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t) power_t=0.25:存在父类当中 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=’constant’ ，并使用eta0来指定学习率。 SGDRegressor.coef_：回归系数 SGDRegressor.intercept_：偏置
波士顿房价预测
分析
回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大。所以需要做标准化处理。同时我们对目标值也需要做标准化处理。
- 数据分割与标准化处理
- 回归预测
- 线性回归的算法效果评估
回归性能评估
均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：
代码：
def linear1(): """ 正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测 :return: """ # 1）获取数据 boston = load_boston() # 2）划分数据集 x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22) # 3）标准化 transfer = StandardScaler() x_train = transfer.fit_transform(x_train) x_test = transfer.transform(x_test) # 4）预估器 estimator = LinearRegression() estimator.fit(x_train, y_train) # 5）得出模型 print("正规方程-权重系数为： ", estimator.coef_) print("正规方程-偏置为： ", estimator.intercept_) # 6）模型评估 y_predict = estimator.predict(x_test) print("预测房价： ", y_predict) error = mean_squared_error(y_test, y_predict) print("正规方程-均方误差为： ", error) return None def linear2(): """ 梯度下降的优化方法对波士顿房价进行预测 :return: """ # 1）获取数据 boston = load_boston() print("特征数量： ", boston.data.shape) # 2）划分数据集 x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22) # 3）标准化 transfer = StandardScaler() x_train = transfer.fit_transform(x_train) x_test = transfer.transform(x_test) # 4）预估器 estimator = SGDRegressor(learning_rate="constant", eta0=0.01, max_iter=10000, penalty="l1") estimator.fit(x_train, y_train) # 5）得出模型 print("梯度下降-权重系数为： ", estimator.coef_) print("梯度下降-偏置为： ", estimator.intercept_) # 6）模型评估 y_predict = estimator.predict(x_test) print("预测房价： ", y_predict) error = mean_squared_error(y_test, y_predict) print("梯度下降-均方误差为： ", error) return None
拓展-关于优化方法GD、SGD、SAG
GD
梯度下降(Gradient Descent)，原始的梯度下降法需要计算所有样本的值才能够得出梯度，计算量大，所以后面才有会一系列的改进。
SGD
随机梯度下降(Stochastic gradient descent)是一个优化方法。它在一次迭代时只考虑一个训练样本。
- SGD的优点是：
- 高效
- 容易实现
- SGD的缺点是：
- SGD需要许多超参数：比如正则项参数、迭代数。
- SGD对于特征标准化是敏感的。
SAG
随机平均梯度法(Stochasitc Average Gradient)，由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法
Scikit-learn：SGDRegressor、岭回归、逻辑回归等当中都会有SAG优化
总结
- 线性回归的损失函数-均方误差
- 线性回归的优化方法
- 正规方程
- 梯度下降
- 线性回归的性能衡量方法-均方误差
- sklearn的SGDRegressor API 参数