机器学习基础 | 回归模型评估指标

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回归模型中常用的评估指标可以分如下几类：

  • MAE系列，即由Mean Absolute Error衍生得到的指标；
  • MSE系列，即由Mean Squared Error衍生得到的指标；
  • R²系列；
    注：在英语中，error和deviation的含义是一样的，所以Mean Absolute Error也可以叫做Mean Absolute Deviation(MAD)，其他指标同理可得；

MAE系列

MAE全称Mean Absolute Error(平均绝对误差)。
更多参考
设N为样本数量，第(i)个样本的实际值为(y_i)，预测值为(y'_i),那么MAE的定义如下

[MAE = frac{1}{N}sum^N_{i=1}|y_i-y'_i| ]

由MAE衍生可以得到：

  • Mean Absolute Pencentage Error(MAPE，平均绝对百分比误差)，相当于加权版的MAE.

[MAPE = frac{1}{N}sum^N_{i=1}iggl|frac{y_i-y'_i}{y_i}iggr| ]

MAPE可以看做是MAE和MPE(Mean Percentage Error)综合而成的指标

[MPE = frac{1}{N}sum^N_{i=1}frac{y_i-y'_i}{y_i} ]

从MAPE公式中可以看出有个明显的bug——当实际值(y_i=0)时就会得到无穷大值(实际值(|y_i|<1)时也会过度放大误差)。为了避免这个bug，MAPE一般用于实际值不会为0的情形。

Sungil Kima & Heeyoung Kim(2016)提出MAAPE(mean arctangent absolute percentage error) 方法，在保持MAPE的算法思想下克服了上面那个bug(更多参考 A new metric of absolute percentage error for intermittent demand forecasts,Sungil Kima & Heeyoung Kim, 2016).

[MAAPE = frac{1}{N}sum^N_{i=1}arctaniggl(iggl|frac{y_i-y'_i}{y_i}iggr|iggr) ]

考虑Absolute Error (|y_i-y'_i|)可能存在Outlier的情况，此时Median Abosulte Error(MedAE, 中位数绝对误差)可能是更好的选择。

[MedAE=underset{i=1,...,N}{median}|y_i-y'_i| ]

MSE系列

MSE全称Mean Squared Error(均方误差)，也可以称为Mean Squared Deviation (MSD).
更多参考

[MSE = frac{1}{N}sum^N_{i=1}|y_i-y'_i|^2 ]

由MSE可以衍生得到均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE, 或者RMSD)
更多参考

[RMSE=sqrt{MSE} = sqrt{frac{1}{N}sum^N_{i=1}|y_i-y'_i|^2} ]

RMSE可以进行归一化(除以全距或者均值)从而得到归一化的均方根误差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE).
(NRMSE = frac{RMSE}{y_{max}-y_{min}})
或者
(NRMSE = frac{RMSE}{overline{y}})

RMSE还有其他变式：

  • RMSLE(Root Mean Square Logarithmic Error)

[RMSLE = sqrt{frac{1}{N}sum^N_{i=1}igl|log(y_i+1)-log(y'_i+1)igr|^2} ]

  • RMSPE(Root Mean Square Percentage Error)

[RMSPE=sqrt{frac{1}{N}sum^N_{i=1}iggl|frac{y_i-y'_i}{y_i}iggr|^2} ]

对于数值序列出现长尾分布的情况，可以选择MSLE(Mean squared logarithmic error，均方对数误差)，对原有数据取对数后再进行比较(公式中+1是为了避免数值为0时出现无穷值).

[MSLE = frac{1}{N}sum^N_{i=1}igl|log(y_i+1)-log(y'_i+1)igr|^2 ]

R²系列

R²(R squared, Coefficient of determination)，中文翻译为“决定系数”或者“拟合优度”，反映的是预测值对实际值的解释程度.
注意：R²和相关系数的平方不是一回事(只在简单线性回归条件下成立)

[egin{aligned} R^2 & = 1-frac{SS_{res}}{SS_{tot}} \ & = 1-frac{sum^N_{i=1}(y_i-y'_i)^2}{sum^N_{i=1}(y_i-overline{y})^2} \ end{aligned} ]

其中(overline{y}=frac{1}{N}sum^N_{i=1}y_i)，总平方和(SS_{tot})= 回归平方和(SS_{reg})+残差平方和(SS_{res}).
(SS_{tot} = sum^N_{i=1}(y_i-y'_i)^2)
(SS_{res} = sum^N_{i=1}(y_i-overline{y})^2)
(SS_{reg} = sum^N_{i=1}(y'_i-overline{y})^2)

回归模型中，增加额外的变量会提升R²，但这种提升可能是虚假的，因此提出矫正的R²(Adjusted R²，符号表示为(R^2_{adj})或者(overline{R}^2))来对模型中的变量个数进行“惩罚”((R^2_{adj} leq R^2))。

[R^2_{adj} = 1-(1-R^2)frac{N-1}{N-1-P} ]

公式中(P)表示回归模型中变量(特征)的个数。和(R^2)计算方式很相近的另一个指标是Explained Variance Score.

设(e_i = y_i-y'_i, overline{e}=frac{1}{N}sum^N_{i=1}e_i),则有

[egin{aligned} explained_variance & = 1-frac{var(y-y')}{var(y)} \ & = 1-frac{sum^N_{i=1}(e_i-overline{e})^2}{sum^N_{i=1}(y_i-overline{y})^2} \ end{aligned} ]

更多关于R²参考 ：

综上，在选用评价指标时，需要考虑:

  • 数据中是否有0，如果有0值就不能用MPE、MAPE之类的指标；
  • 数据的分布如何，如果是长尾分布可以选择带对数变换的指标，中位数指标比平均数指标更好；
  • 是否存在极端值，诸如MAE、MSE、RMSE之类容易受到极端值影响的指标就不要选用；
  • 得到的指标是否依赖于量纲(即绝对度量，而不是相对度量)，如果指标依赖量纲那么不同模型之间可能因为量纲不同而无法比较；

更多关于指标选择可以参考A Survey of Forecast Error Measures(2013) 这篇文章。

参考资料：

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