范围最小值问题（Range Minium Query,RMQ）---RMQ问题
一、一维问题
给出一个n个元素的数组A1,A2,...,An,
设计一个数据结构，
支持查询操作Query（L,R）：计算min（AL,AL+1,...AR）
显然，
用一个循环来计算最小值
显然不够快，
即使是前缀和的思想也不能提高效率！
那么，
实践中最常用的是Tarjan的Sparse-Table算法（就是ST表）
预处理时间：O（nlogn）
查询时间：O（1）
（这个算法非常好写，而且还不容易出错）
（其实：RMQ问题可以做到O（n）预处理，O（1）查询，但，我不会，嘻嘻，蒟蒻本质）
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ST表：
用的是倍增的思想
用来求区间最值问题
（ST表即可以求最大值，又可以求最小值；但RMQ问题只需要求区间最小值，所以，可以说是，用ST这种算法来解决RMQ问题）
令d（i，j）表示从i开始的，长度为2j的一段元素中的最小值；
那么，就可以用递推的方法计算
d（i，j）=min{d（i，j-1），d（i+2j-1，j-1）}
原理如下
时间复杂度分析：
2j<=n;因此d数组的元素个数不超过nlogn，而每一项都可以在常数时间计算完毕，故总时间为O（nlogn）
代码：
void RMQ_init(const vector<int>& A) { int n = A.size(); for(int i = 0;i < n;i++) d[i][0] = A[i]; for(int j = 1;(1 << j) <= n;j++) for(int i = 0;i + (1<<j) - 1 < n;i++) d[i][j] = min(d[i][j-1],d[i + (1<<(j-1))][j-1]); }
上面这是预处理的操作
下面就是查询操作
由于并不是每个数都恰好是2的k次方
所以只能退而求其次
令k满足2k<=R-L+1的最大整数
那么
以L开头，以R结尾的两个长度为2k的区间合起来机覆盖了查询区间[L,R]。
由于是取最小值
所以有些元素
重复考虑了几遍也没关系
（但如果是累加，重复元素就是不允许的了）
原理如下
查询的代码：
int RMQ(int L,int R) { int k = 0; while(1<<(k+1) <= R-L+1) k++;//如果2^（k+1）<=R-L+1.那么k还可以加1 //这步保证k是取了它的最大值，即下面的两个范围是把全部部分都覆盖了 return min(d[L][k],d[r-(1<<k)+1][k]); }
二、二维问题
二维RMQ问题就是求一个矩阵N*M中的一个小块矩阵内的最值问题.其中dmin[i][j][ii][jj]=x表示以(i, j)为左上角,以(i+(1<<ii)-1, j+(1<<jj)-1 )为右下角的矩阵内的最小值.dmax的值类似.
下面dmin[i][j][ii][jj]的值如何求呢?首先我们知道dmin[i][j][0][0]的值就是v[i][j],而假设dmin[i][j][ii][jj]中的ii不为0,那么dmin[i][j][ii][jj]= min(dmin[i][j][ii-1][jj], dmin[i+(1<<ii)][j][ii-1][jj] );如果ii为0,那么就按jj来求.
其实上面的求法就是等于把二维问题转变为一维问题来求解.
下面我们讨论如何查询结果.
对于一个以(x1, y1)为左上角,以(x2, y2)为右下角的矩形,如何求它的最小值和最大值呢?下面假设我们求最小值:
我们把(x1，y1)与(x2，y2)构成的矩形分成四小块，这四小块可能有重合部分，但是它们共同构成了目标矩形：
dmin[x1][y1][ii][jj]
dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]
dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj]
dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]
(自己想象下上面4小块是怎么样的？)
temp 1=min(dmin[x1][y1][ii][jj] , dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj])
temp 2=min(dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj] ,dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj] )
最终结果是min(temp1, temp2);
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int MAXN=50000+100; int dmax[MAXN][20]; int dmin[MAXN][20]; void initmax(int n,int d[])//初始化最大值查询 { for(int i=1; i<=n; i++) dmax[i][0]=d[i]; for(int j=1 ; (1<<j)<=n ; j++) for(int i=1; i+(1<<j)-1 <=n; i++) dmax[i][j]=max(dmax[i][j-1],dmax[i+(1<<(j-1))][j-1]); } int getmax(int L,int R)//查询最大值 { int k=0; while((1<<(k+1))<=R-L+1)k++; return max(dmax[L][k] , dmax[R-(1<<k)+1][k]); } void initmin(int n,int d[])//初始化最小值查询 { { for(int i=1; i<=n; i++) dmin[i][0]=d[i]; for(int j=1; (1<<j)<=n; j++) for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++) dmin[i][j]= min( dmin[i][j-1],dmin[i+(1<<(j-1))][j-1] ); } int getmin(int L,int R)//查询最小值 { int k=0; while( (1<<(k+1)) <=R-L+1)k++; return min(dmin[L][k],dmin[R-(1<<k)+1][k]); }