Binary Heap(二叉堆)

　　这篇的主题主要是Heapsort(堆排序)，下一篇ADT数据结构随笔再谈谈 - 优先队列(堆)。

　　首先，我们先来了解一点与堆相关的东西。堆可以实现优先队列(Priority Queue)，看到队列，我们马上就想到了队列的一个特点 - 先进先出(FIFO - first in first out)，但优先队列有些不同的地方，优先队列是一种具有优先级先出的数据结构。

　　堆的结构：

typedef int ElemType;

typedef struct
{
    ElemType * arr;
    int size;
}Heap;

　　和数组栈的结构类似。

　　初始化堆：

Heap * InitHeap(ElemType * nums, int ArraySize)
{
    Heap * heap;

    heap = (Heap *)malloc(sizeof(Heap));
    heap -> arr = (ElemType *)malloc(sizeof(ElemType));
    for(heap -> size = 0; heap -> size < ArraySize; heap -> size ++)
        heap -> arr[heap -> size] = nums[heap -> size];
    
    return heap;
}

　　找节点的关系：

/*
 *    节点i的双亲
 */
static int HeapParent(int i)
{
    return i/2;
}

/*
 *    节点i的左孩子
 */
static int HeapLeft(int i)
{
    return 2*i + 1;
}

/*
 *    节点i的右孩子
 */
static int HeapRight(int i)
{
    return 2*(i + 1);
}

　　这里要保持的是一个大根堆：

/*
 *    维护的最大堆(或最小堆)的性质
 *　　　　参数说明:
 *　　　　　　1.接收一个已存在的堆
 *　　　　　　2.节点位置
 *        无返回值
 */
void Max_Heapify(Heap * heap, int i)
{
    int _L = HeapLeft(i);
    int _R = HeapRight(i);
    int largest;
    int temp;

    if(_L < heap -> size && heap -> arr[_L] > heap -> arr[i])
        largest = _L;
    else
        largest = i;
    if(_R < heap -> size && heap -> arr[_R] > heap -> arr[largest])
        largest = _R;
    if(largest != i)
    {
        temp = heap -> arr[i];
        heap -> arr[i] = heap -> arr[largest];
        heap -> arr[largest] = temp;
        Max_Heapify(heap, largest);
    }
}

　　建大根堆：

static void Build_Max_Heap(Heap * heap)
{
    int i;

    for(i = heap -> size/2; i >= 0; i--)
        Max_Heapify(heap, i);
}

　　排序：

void HeapSort(Heap * heap)
{
    int i;
    int temp;

    //维护堆,把初始建立的混乱的堆变为大根堆,以便进行排序
    Build_Max_Heap(heap);
    for(i = heap -> size - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = heap -> arr[0];
        heap -> arr[0] = heap -> arr[i];
        heap -> arr[i] = temp;
        -- heap -> size;        //每次把具有最小值的节点交换到根节点上,则把需要维护的堆的大小减小
        Max_Heapify(heap, 0);   //交换根节点后的堆的性质变了,需要不断维护
    }
}

　　至此，用二叉堆对一个数组的排序就完成了。

　　然后，测试一下：

int main()
{
    Heap * heap;
    ElemType nums[] = {5, 13, 2, 25, 7, 17, 20, 8, 4}, * arr = nums;
    int arrSize = sizeof(nums)/sizeof(int);
    int i;

    heap = InitHeap(arr, arrSize);

    HeapSort(heap);

    for(i = 0; i < arrSize; i++)
        printf("%d ", heap -> arr[i]);
    printf("
");

    return 0;
}

　　运行结果：

2 4 5 7 8 13 17 20 25

　　完整的堆排序代码：

/**
 *  堆排序（Heap Sort）
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef int ElemType;

typedef struct
{
    ElemType * arr;
    int size;
}Heap;

Heap * InitHeap();
static int HeapParent();
static int HeapLeft();
static int HeapRight();
void Max_Heapify();
static void Build_Max_Heap();
void HeapSort();

/*
 *    初始化堆
 *
 *    参数说明:
 *        1.传入数组
 *        2.数组大小
 *
 *    返回值：堆
 */
Heap * InitHeap(ElemType * nums, int ArraySize)
{
    Heap * heap;

    heap = (Heap *)malloc(sizeof(Heap));
    heap -> arr = (ElemType *)malloc(sizeof(ElemType));
    for(heap -> size = 0; heap -> size < ArraySize; heap -> size ++)
        heap -> arr[heap -> size] = nums[heap -> size];

    return heap;
}

/*
 *    某节点i的双亲
 */
static int HeapParent(int i)
{
    return i/2;
}

/*
 *    某节点i的左孩子
 */
static int HeapLeft(int i)
{
    return 2*i + 1;
}

/*
 *    某节点i的右孩子
 */
static int HeapRight(int i)
{
    return 2*(i + 1);
}

/*
 *    维护堆
 */
void Max_Heapify(Heap * heap, int i)
{
    int _L = HeapLeft(i);
    int _R = HeapRight(i);
    int largest;
    int temp;

    if(_L < heap -> size && heap -> arr[_L] > heap -> arr[i])
        largest = _L;
    else
        largest = i;
    if(_R < heap -> size && heap -> arr[_R] > heap -> arr[largest])
        largest = _R;
    if(largest != i)
    {
        temp = heap -> arr[i];
        heap -> arr[i] = heap -> arr[largest];
        heap -> arr[largest] = temp;
        Max_Heapify(heap, largest);
    }
}

/*
 *    建堆
 */
static void Build_Max_Heap(Heap * heap)
{
    int i;

    for(i = heap -> size/2; i >= 0; i--)
        Max_Heapify(heap, i);
}

/*
 *    排序
 */
void HeapSort(Heap * heap)
{
    int i;
    int temp;

    Build_Max_Heap(heap);            //维护堆,把初始建立的混乱的堆变为大根堆,以便进行排序
    for(i = heap -> size - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = heap -> arr[0];
        heap -> arr[0] = heap -> arr[i];
        heap -> arr[i] = temp;
        -- heap -> size;            //每次把具有最小值的节点交换到根节点上,则把需要维护的堆的大小减小
        Max_Heapify(heap, 0);        //交换根节点后的堆的性质变了,需要不断维护
    }
}

int main(void)
{
    Heap * heap;
    ElemType nums[] = {5, 13, 2, 25, 7, 17, 20, 8, 4}, * arr = nums;
    int arrSize = sizeof(nums)/sizeof(int);
    int i;

    heap = InitHeap(arr, arrSize);

    HeapSort(heap);

    for(i = 0; i < arrSize; i++)
        printf("%d ", heap -> arr[i]);
    printf("
");

    return 0;
}

　　这里的堆显然是一个二叉堆，因此可以把它想象成二叉树的样子来理解，关于整个堆排序的过程，它的时间复杂度为O(nlgn)，因为调用Build_Max_Heap()的代价为O(n)，而n - 1次调用Max_Heapify()的代价为O(lgn)。

　　但至于为什么Build_Max_Heap()函数的时间复杂的只有O(n)...看起来应该是O(nlgn)，我也还没完全理解这里的时间复杂度的计算...留个坑慢慢理解...懂了之后再补充。

　　前面提到了堆的结构型和数组栈相似，实际上，堆与队列和栈有很大的关系，我们知道队列是FIFO，栈是FILO，从上面堆的维护操作等就可以看出，堆还有着具有优先级的先出的特性（注意与栈并不同），优先队列是基于最大/小堆实现的，虽然名字中有个队列，但区别还是很大的。