LeetCode 300. Longest Increasing Subsequence

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

Example:

Input: [10,9,2,5,3,7,101,18]
Output: 4 
Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4. 

Note:

• There may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.
• Your algorithm should run in O(n²) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

非常经典的一道动态规划题目，常用解法有两个

1、暴力搜索

时间复杂度O(N^2)，空间复杂度O(N)，f[i]表示以num[i]结尾的上升子序列的长度，外层循环遍历整个序列，复杂度O(n)，内层循环则从第一个数遍历到外层循环的数字（不含）为止，转移方程为f[i] = max(f[i],f[j]+1)代码如下：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0)
            return 0;
        vector<int> v;
        int len = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
            v.push_back(1);
            for (int j = 0; j < i; j++)    //这里的可以是小于，也可以是小于等于
                if (nums[j] < nums[i])    //这里根据题目情况，如果要求严格单调上升，就必须是小于，否则应该是小于等于
                    v[i] = max(v[i], v[j]+1);
            if (v[i] > len)
                len = v[i];
                    
        }
        return len;
    }
};

2、二分搜索

时间复杂度O(N*logN)，空间复杂度O(N)，我们可以用一个数组，来记录当前已经形成的递增子序列，该数组一定是单调不减的，我们所希望的是末尾的数字尽量小，这样才会使得更多的数字有机会加入进来。外层循环需要遍历整个序列，内层循环则利用有序性进行二分查找，找到该数字在我们定义的数组中的位置，然后更新，最终返回该数组的长度即可，但是这么做要注意我们只保证长度是正确的，不保证该数组是一个最长上升子序列。

代码如下：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0)
            return 0;
        vector<int> res;
        res.push_back(nums[0]);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
        {
            int left = 0, right = res.size()-1;
            if (nums[i] > res.back())
                res.push_back(nums[i]);
            else
            {
                while (left < right)
                {
                    int mid = (left + right) / 2;
                    if (res[mid] < nums[i])
                        left = mid + 1;
                    else
                        right = mid;
                }
                res[right] = nums[i];
            }
        }
        return res.size();
    }
};

 易错点：6,7行，可以利用c++11新特性写成 res{nums[0]}，但是千万别错写成res(nums[0])

另外，这道题的细节方面也值得注意，17行可以用移位运算代替除法提升速度，19行和21行是变形的二分查找，因为右边界搜索的速度放慢了，right = mid 而不是right = mid-1，这么做我的理解是“二分查找允许找不到返回-1，而我们这里一定会找到一个适合插入的位置，所以右边界搜索速度减慢”,当然你也许会问如果把左边界搜索速度放慢右边界不变可以吗？比如19行改为left = mid, 21行改为 rigth = mid - 1， 答案是不行，会陷入死循环，[10,9,2,5,3,7,101,18]就过不了。因为我们需要构造的是一个右紧密序列，也就是允许mid落在right上。
还有，15行必须为小于号，而不是小于等于，因为那样会陷入死循环，细节很多，需要注意！

参考链接：

https://www.cnblogs.com/lsgxeva/p/7787245.html

http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4938187.html

https://www.cnblogs.com/GodA/p/5180560.html

https://blog.csdn.net/George__Yu/article/details/75896330