微积分求特殊摆线长

一枚硬币向右滚动一周,求圆周上一点的路程.半径R

首先明白其实每个点的路程都一样，挑个好算点的

就最下面那个——见图

设圆上那个原来最下面的点现在坐标为(x,y)——（y画的不像）,夹角为θ

易知

所以dx/dθ=(R-Rcosθ) ,dy/dθ=Rsinθ

ds=sqrt(dx^2+dy^2)=dθ*R*sqrt(2-2cosθ)=dθ*R*2*sin(θ/2)

摆线长为ds=8R;